Упр.935 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Построить график функции $$y=\frac{x^3-4}{(x-1)^3}$$. Сколько действительных корней имеет уравнение $$\frac{x^3-4}{(x-1)^3}=C$$ при различных значениях $$C$$?

Рассмотрим функцию $$y=\frac{x^3-4}{(x-1)^3}.$$

Ход решения

1) Область определения:

$$x\ne 1.$$

2) Найдём производную:

$$y’=\frac{(x^3-4)'(x-1)^3-(x^3-4)\bigl((x-1)^3\bigr)’}{(x-1)^6}$$
$$y’=\frac{3x^2(x-1)^3-(x^3-4)\cdot 3(x-1)^2}{(x-1)^6}$$
$$y’=\frac{(x-1)^2\bigl(3x^2(x-1)-3(x^3-4)\bigr)}{(x-1)^6} =\frac{3x^2(x-1)-3(x^3-4)}{(x-1)^4}$$
$$y’=\frac{3x^3-3x^2-3x^3+12}{(x-1)^4} =\frac{12-3x^2}{(x-1)^4} =\frac{3(4-x^2)}{(x-1)^4}.$$

3) Стационарные точки:

$$y’=0 \iff 3(4-x^2)=0 \iff x^2=4 \iff x=\pm 2.$$

Найдём значения функции в этих точках:

$$y(-2)=\frac{(-2)^3-4}{(-2-1)^3}=\frac{-8-4}{(-3)^3}=\frac{-12}{-27}=\frac49,$$
$$y(2)=\frac{2^3-4}{(2-1)^3}=\frac{8-4}{1}=4.$$

4) Исследуем знак производной. Так как $$\,(x-1)^4>0$$ при $$x\ne 1,$$ знак $$y’$$ определяется выражением $$4-x^2.$$ Поэтому:

• при $$x<-2$$ и $$x>2$$ имеем $$y'<0$$, функция убывает;
• при $$-2<x<1$$ и $$1<x<2$$ имеем $$y’>0$$, функция возрастает.

Следовательно, $$x=-2$$ — точка минимума, $$x=2$$ — точка максимума.

5) Горизонтальная асимптота:

$$y=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-4}{(x-1)^3} =\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{4}{x^3}}{1-\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x^3}}=1.$$

Значит, горизонтальная асимптота графика: $$y=1.$$

6) Вертикальная асимптота: $$x=1.$$

Итак, график функции имеет две ветви, проходит через точки $$(-2;\frac49)$$ и $$(2;4)$$, имеет асимптоты $$x=1$$ и $$y=1$$.

7) По графику определяем число решений уравнения

$$\frac{x^3-4}{(x-1)^3}=C.$$

• если $$C<\frac49$$ или $$C>4,$$ уравнение имеет одно решение;
• если $$C=\frac49$$ или $$C=4,$$ уравнение имеет два решения;
• если $$\frac49<C<1$$ или $$1<C<4,$$ уравнение имеет три решения;
• если $$C=1,$$ решений нет, так как график не пересекает прямую $$y=1.$$

Ответ

$$x\ne 1,$$ $$y’=\frac{3(4-x^2)}{(x-1)^4},$$ точки экстремума: $$(-2;\frac49)$$ — минимум, $$(2;4)$$ — максимум, асимптоты: $$x=1$$ и $$y=1.$$

Уравнение $$\frac{x^3-4}{(x-1)^3}=C$$ имеет:

одно решение при $$C<\frac49$$ или $$C>4$$;

два решения при $$C=\frac49$$ или $$C=4$$;

три решения при $$\frac49<C<1$$ или $$1<C<4$$;

решений нет при $$C=1.$$