Упр.935 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 935 Построить график функции у =(x3-4)/(x-1)3 Сколько действительных корней имеет уравнение (x3-4)/(x-1)3 = С при различных значениях С? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 935 1111

Рассмотрим функцию

$$y=\frac{x^3-4}{(x-1)^3}.$$

1) Область определения:

$$x\ne 1.$$

2) Найдём производную:

$$ y’=\frac{(x^3-4)'(x-1)^3-(x^3-4)\bigl((x-1)^3\bigr)’}{(x-1)^6} $$

$$ y’=\frac{3x^2(x-1)^3-3(x^3-4)(x-1)^2}{(x-1)^6} =\frac{3x^2(x-1)-3(x^3-4)}{(x-1)^4} =\frac{12-3x^2}{(x-1)^4} =\frac{3(4-x^2)}{(x-1)^4}. $$

3) Стационарные точки:

$$y’=0 \iff 4-x^2=0 \iff x=\pm 2.$$

Найдём значения функции в этих точках:

$$ y(-2)=\frac{(-2)^3-4}{(-2-1)^3}=\frac{-8-4}{-27}=\frac{4}{9}, $$

$$ y(2)=\frac{2^3-4}{(2-1)^3}=\frac{8-4}{1}=4. $$

Так как знаменатель $(x-1)^4>0$ при $x\ne 1$, знак производной определяется числителем $4-x^2$:

$$ y'<0 \text{ при } x<-2 \text{ и } x>2,\qquad y’>0 \text{ при } -2<x<1 \text{ и } 1<x<2. $$

Значит, функция убывает на $$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty),$$ возрастает на $$(-2,1)\cup(1,2).$$

Следовательно, в точке $$x=-2$$ — минимум, а в точке $$x=2$$ — максимум.

4) Горизонтальная асимптота:

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{x^3-4}{(x-1)^3} =\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-4}{x^3-3x^2+3x-1}=1. $$

Значит, горизонтальная асимптота: $$y=1.$$

Итак, график имеет минимум $$\frac49$$ и максимум $$4$$, а также разрыв при $$x=1$$.

5) Теперь рассмотрим уравнение

$$\frac{x^3-4}{(x-1)^3}=C.$$

Число решений зависит от положения прямой $$y=C$$ относительно графика функции:

• если $$C<\frac49$$ или $$C>4,$$ то уравнение имеет одно решение;
• если $$C=\frac49$$ или $$C=4,$$ то уравнение имеет два решения;
• если $$\frac49<C<1$$ или $$1<C<4,$$ то уравнение имеет три решения.

Ответ

График функции построен по указанным точкам и асимптоте $$y=1$$. Уравнение $$\dfrac{x^3-4}{(x-1)^3}=C$$ имеет:

• одно решение при $$C<\frac49$$ или $$C>4$$;
• два решения при $$C=\frac49$$ или $$C=4$$;
• три решения при $$\frac49<C<1$$ или $$1<C<4$$.