Упр.934 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти число действительных корней уравнения:
1) $$x^4-4x^3+20=0$$;
2) $$8x^3-3x^4-7=0$$.
1) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^4-4x^3+20.$$
Найдём её производную:
$$f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3).$$
Критические точки:
$$4x^2(x-3)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\; x=3.$$
Исследуем знак производной:
при $$x<3$$ имеем $$f'(x)<0$$, а при $$x>3$$ имеем $$f'(x)>0.$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;3)$$ и возрастает на $$(3;+\infty).$$ Минимум достигается при $$x=3$$:
$$f(3)=3^4-4\cdot 3^3+20=81-108+20=-7.$$
Так как $$f(0)=20>0$$, а $$f(3)=-7<0,$$ график пересекает ось $$Ox$$ дважды: один раз на промежутке $$(-\infty;3)$$ и один раз на промежутке $$(3;+\infty).$$
Итак, уравнение имеет 2 действительных корня.
2) Рассмотрим функцию $$g(x)=8x^3-3x^4-7.$$
Найдём производную:
$$g'(x)=24x^2-12x^3=12x^2(2-x).$$
Критические точки:
$$12x^2(2-x)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\; x=2.$$
Исследуем знак производной:
при $$x<2$$ имеем $$g'(x)>0,$$ а при $$x>2$$ имеем $$g'(x)<0.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;2)$$ и убывает на $$(2;+\infty),$$ то есть в точке $$x=2$$ достигается максимум:
$$g(2)=8\cdot 2^3-3\cdot 2^4-7=64-48-7=9.$$
Кроме того,
$$g(0)=-7<0.$$
Так как при $$x\to -\infty$$ и $$x\to +\infty$$ значение $$g(x)\to -\infty,$$ график пересекает ось $$Ox$$ дважды: один раз слева от нуля и один раз справа от нуля.
Итак, уравнение имеет 2 действительных корня.
Ответ
1) 2 корня; 2) 2 корня.
