Упр.933 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 933
$$y=\frac{x^2}{x-2}$$
Область определения: $$x\ne 2.$$
Найдём производную:
$$ y’=\frac{(x^2)'(x-2)-x^2(x-2)’}{(x-2)^2} =\frac{2x(x-2)-x^2}{(x-2)^2} =\frac{x^2-4x}{(x-2)^2} =\frac{x(x-4)}{(x-2)^2}. $$
Стационарные точки:
$$x(x-4)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=4.$$
Значения функции в этих точках:
$$f(0)=\frac{0^2}{0-2}=0,$$
$$f(4)=\frac{4^2}{4-2}=8.$$
Так как $$ (x-2)^2>0 $$ при $$x\ne 2,$$ знак производной определяется выражением $$x(x-4).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup(4;+\infty),$$ убывает на $$ (0;2)\cup(2;4). $$
В точке $$x=0$$ — максимум, в точке $$x=4$$ — минимум.
$$y=\frac{-x^2+3x-1}{x}=-x+3-\frac1x$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Найдём производную:
$$ y’=-1+\frac{1}{x^2}. $$
Стационарные точки:
$$ -1+\frac{1}{x^2}=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1. $$
Значения функции:
$$f(-1)=1+3+1=5,$$
$$f(1)=-1+3-1=1.$$
Так как $$y’=\frac{1-x^2}{x^2},$$ то функция убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$ возрастает на $$(-1;0)\cup(0;1).$$
В точке $$x=-1$$ — минимум, в точке $$x=1$$ — максимум.
$$y=\frac{4+x-2x^2}{(x-2)^2}$$
Область определения: $$x\ne 2.$$
Найдём производную:
$$ y’=\frac{(1-4x)(x-2)^2-(4+x-2x^2)\cdot 2(x-2)}{(x-2)^4} =\frac{7x-10}{(x-2)^3}. $$
Стационарная точка:
$$ 7x-10=0 \Rightarrow x=\frac{10}{7}. $$
Значение функции в этой точке:
$$ f\!\left(\frac{10}{7}\right)=\frac{4+\frac{10}{7}-2\left(\frac{10}{7}\right)^2}{\left(\frac{10}{7}-2\right)^2} =\frac{33}{8}. $$
Знак производной показывает, что функция возрастает на $$(-\infty;\frac{10}{7})\cup(2;+\infty),$$ убывает на $$\left(\frac{10}{7};2\right).$$
В точке $$x=\frac{10}{7}$$ — максимум.
Ответ
1) $$D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty),$$ возрастает на $$(-\infty;0)\cup(4;+\infty),$$ убывает на $$ (0;2)\cup(2;4),$$ максимум при $$x=0,$$ минимум при $$x=4.$$
2) $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),$$ возрастает на $$(-1;0)\cup(0;1),$$ убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$ минимум при $$x=-1,$$ максимум при $$x=1.$$
3) $$D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty),$$ возрастает на $$(-\infty;\frac{10}{7})\cup(2;+\infty),$$ убывает на $$\left(\frac{10}{7};2\right),$$ максимум при $$x=\frac{10}{7}.$$
