Упр.933 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) $$y=\frac{x^2}{x-2}$$
Область определения: $$x\ne 2.$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{(x^2)'(x-2)-x^2(x-2)’}{(x-2)^2} =\frac{2x(x-2)-x^2}{(x-2)^2} =\frac{x^2-4x}{(x-2)^2} =\frac{x(x-4)}{(x-2)^2}.$$
Стационарные точки:
$$x(x-4)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=4.$$
Значения функции в этих точках:
$$f(0)=0,\qquad f(4)=\frac{16}{2}=8.$$
Так как знаменатель $$(x-2)^2>0$$ при $$x\ne 2,$$ знак производной определяется числителем $$x(x-4).$$ Поэтому функция
возрастает на $$(-\infty;0)\cup(4;+\infty),$$ убывает на $$(0;2)\cup(2;4).$$
Следовательно, $$x=0$$ — точка максимума, $$x=4$$ — точка минимума.
2) $$y=\frac{-x^2+3x-1}{x}=-x+3-\frac1x$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Найдём производную:
$$y’=-1+\frac{1}{x^2}.$$
Стационарные точки:
$$-1+\frac{1}{x^2}=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1.$$
Значения функции:
$$f(-1)=5,\qquad f(1)=1.$$
Так как $$y’=\frac{1-x^2}{x^2},$$ то функция
убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$ возрастает на $$(-1;0)\cup(0;1).$$
Следовательно, $$x=-1$$ — точка минимума, $$x=1$$ — точка максимума.
3) $$y=\frac{4+x-2x^2}{(x-2)^2}$$
Область определения: $$x\ne 2.$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{(4+x-2x^2)'(x-2)^2-(4+x-2x^2)\cdot 2(x-2)}{(x-2)^4} =\frac{7x^2-24x+20}{(x-2)^4}.$$
Стационарные точки:
$$7x^2-24x+20=0, \qquad D=24^2-4\cdot 7\cdot 20=16.$$
$$x_{1,2}=\frac{24\pm 4}{14} \Rightarrow x_1=\frac{10}{7},\; x_2=2.$$
Точка $$x=2$$ не принадлежит области определения, поэтому остаётся $$x=\frac{10}{7}.$$
Значение функции в этой точке:
$$f\!\left(\frac{10}{7}\right)=\frac{33}{8}.$$
Так как знаменатель $$(x-2)^4>0$$ при $$x\ne 2,$$ а числитель квадратичный с положительным старшим коэффициентом, то
функция возрастает на $$(-\infty;\frac{10}{7})\cup(2;+\infty),$$ убывает на $$\left(\frac{10}{7};2\right).$$
Следовательно, $$x=\frac{10}{7}$$ — точка максимума.
Ответ:
1) $$D(x)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty),$$ возрастает на $$(-\infty;0)\cup(4;+\infty),$$ убывает на $$(0;2)\cup(2;4),$$ максимум при $$x=0,$$ минимум при $$x=4.$$
2) $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),$$ возрастает на $$(-1;0)\cup(0;1),$$ убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$ минимум при $$x=-1,$$ максимум при $$x=1.$$
3) $$D(x)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty),$$ возрастает на $$(-\infty;\frac{10}{7})\cup(2;+\infty),$$ убывает на $$\left(\frac{10}{7};2\right),$$ максимум при $$x=\frac{10}{7}.$$
