Упр.932 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) $$y=xe^{-x}$$

$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$

$$y’=(xe^{-x})’=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x).$$

$$y’=0 \iff e^{-x}(1-x)=0 \iff x=1.$$

Так как $$e^{-x}>0$$ при всех $$x,$$ то

$$y’>0 \text{ при } x<1,\qquad y'<0 \text{ при } x>1.$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;1)$$ и убывает на $$(1;+\infty),$$ а при $$x=1$$ имеет максимум:

$$y(1)=\frac{1}{e}.$$

Горизонтальная асимптота:

$$\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=0,$$ значит, $$y=0.$$

2) $$y=xe^x$$

$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$

$$y’=(xe^x)’=e^x+xe^x=e^x(1+x).$$

$$y’=0 \iff e^x(1+x)=0 \iff x=-1.$$

Так как $$e^x>0$$ при всех $$x,$$ то

$$y'<0 \text{ при } x<-1,\qquad y’>0 \text{ при } x>-1.$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1)$$ и возрастает на $$(-1;+\infty),$$ а при $$x=-1$$ имеет минимум:

$$y(-1)=-\frac{1}{e}.$$

Горизонтальная асимптота:

$$\lim_{x\to-\infty}xe^x=0,$$ значит, $$y=0.$$

3) $$y=e^{x^2}$$

$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$

$$y’=(e^{x^2})’=2xe^{x^2}.$$

$$y’=0 \iff 2xe^{x^2}=0 \iff x=0.$$

Так как $$e^{x^2}>0$$ при всех $$x,$$ то

$$y'<0 \text{ при } x<0,\qquad y’>0 \text{ при } x>0.$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и возрастает на $$(0;+\infty),$$ а при $$x=0$$ имеет минимум:

$$y(0)=1.$$

4) $$y=e^{-x^2}$$

$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$

$$y’=(e^{-x^2})’=-2xe^{-x^2}.$$

$$y’=0 \iff -2xe^{-x^2}=0 \iff x=0.$$

Так как $$e^{-x^2}>0$$ при всех $$x,$$ то

$$y’>0 \text{ при } x<0,\qquad y'<0 \text{ при } x>0.$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и убывает на $$(0;+\infty),$$ а при $$x=0$$ имеет максимум:

$$y(0)=1.$$

Горизонтальная асимптота:

$$\lim_{x\to\pm\infty}e^{-x^2}=0,$$ значит, $$y=0.$$

Ответ

1) максимум при $$x=1,$$ $$y_{\max}=\frac{1}{e};$$ асимптота $$y=0.$$
2) минимум при $$x=-1,$$ $$y_{\min}=-\frac{1}{e};$$ асимптота $$y=0.$$
3) минимум при $$x=0,$$ $$y_{\min}=1.$$
4) максимум при $$x=0,$$ $$y_{\max}=1;$$ асимптота $$y=0.$$