Упр.931 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) $$y=3x+\frac{1}{3x}$$

$$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$

$$y’ = 3-\frac{1}{3x^2}$$

Найдём стационарные точки:

$$3-\frac{1}{3x^2}=0$$

$$9x^2-1=0$$

$$x=\pm \frac13$$

Значения функции в этих точках:

$$f\!\left(-\frac13\right)=3\cdot\left(-\frac13\right)+\frac{1}{3\cdot\left(-\frac13\right)}=-1-1=-2$$

$$f\!\left(\frac13\right)=3\cdot\frac13+\frac{1}{3\cdot\frac13}=1+1=2$$

Следовательно, функция убывает на $$\left(-\frac13;0\right)\cup\left(0;\frac13\right)$$ и возрастает на $$(-\infty;-\frac13)\cup\left(\frac13;+\infty\right)$$.

Точка $$x=-\frac13$$ — точка минимума, $$x=\frac13$$ — точка максимума.

2) $$y=\frac{4}{x}-x$$

$$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$

$$y’=-\frac{4}{x^2}-1$$

Так как $$-\frac{4}{x^2}-1<0$$ при всех $$x\neq 0$$, функция убывает на каждом из промежутков области определения:

$$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$

Стационарных точек нет.

Нули функции найдём из уравнения:

$$\frac{4}{x}-x=0$$

$$4-x^2=0$$

$$x=\pm 2$$

3) $$y=x-\frac{1}{\sqrt{x}}$$

$$D(y)=(0;+\infty)$$

$$y’=1+\frac{1}{2x\sqrt{x}}$$

Так как $$1+\frac{1}{2x\sqrt{x}}>0$$ при всех $$x>0$$, функция возрастает на $$(0;+\infty)$$.

Стационарных точек нет.

Нуль функции:

$$x-\frac{1}{\sqrt{x}}=0$$

$$x\sqrt{x}=1$$

$$x^{3/2}=1$$

$$x=1$$

Ответ: 1) убывает на $$\left(-\frac13;0\right)\cup\left(0;\frac13\right)$$, возрастает на $$(-\infty;-\frac13)\cup\left(\frac13;+\infty\right)$$; 2) убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$, нули $$x=\pm2$$; 3) возрастает на $$(0;+\infty)$$, нуль $$x=1$$.