Упр.931 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
2) 4/x -x;
3) y=x-1/корень x.
$$y=3x+\frac{1}{3x}$$
Область определения:
$$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y'(x)=3-\frac{1}{3x^2}$$
Стационарные точки:
$$ 3-\frac{1}{3x^2}=0 \\ 9x^2-1=0 \\ (3x-1)(3x+1)=0 $$
$$x_1=-\frac13,\quad x_2=\frac13$$
Значения функции в этих точках:
$$ f\!\left(-\frac13\right)=3\cdot\left(-\frac13\right)+\frac{1}{3\cdot\left(-\frac13\right)}=-1-1=-2 $$
$$ f\!\left(\frac13\right)=3\cdot\frac13+\frac{1}{3\cdot\frac13}=1+1=2 $$
Следовательно, функция убывает на $$\left(-\infty;-\frac13\right)\cup\left(0;\frac13\right)$$ и возрастает на $$\left(-\frac13;0\right)\cup\left(\frac13;+\infty\right).$$
Точка $$x=-\frac13$$ — точка минимума, $$x=\frac13$$ — точка максимума.
$$y=\frac{4}{x}-x$$
Область определения:
$$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-\frac{4}{x^2}-1$$
Стационарных точек нет, так как
$$ -\frac{4}{x^2}-1=0 \\ -4-x^2=0 \\ x^2=-4 $$
действительных решений не имеет.
Функция убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Нули функции:
$$ \frac{4}{x}-x=0 \\ 4-x^2=0 \\ x^2=4 \\ x=\pm2 $$
Значения в удобных точках:
$$ f(-4)=\frac{4}{-4}-(-4)=-1+4=3 $$
$$ f(4)=\frac{4}{4}-4=1-4=-3 $$
$$y=x-\frac{1}{\sqrt{x}}$$
Область определения:
$$D(x)=(0;+\infty)$$
Найдём производную:
$$y'(x)=1+\frac{1}{2x\sqrt{x}}$$
Стационарных точек нет, так как
$$ 1+\frac{1}{2x\sqrt{x}}=0 \\ 2x\sqrt{x}+1=0 $$
не имеет действительных решений.
Нуль функции:
$$ x-\frac{1}{\sqrt{x}}=0 \\ x\sqrt{x}=1 \\ x^{3/2}=1 \\ x=1 $$
Функция возрастает на $$ (0;+\infty). $$
Значение в точке $$x=4$$:
$$ f(4)=4-\frac{1}{\sqrt{4}}=4-\frac12=\frac72 $$
Ответ
1) $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),$$ убывает на $$\left(-\infty;-\frac13\right)\cup\left(0;\frac13\right),$$ возрастает на $$\left(-\frac13;0\right)\cup\left(\frac13;+\infty\right),$$
$$f_{\min}=-2,\ f_{\max}=2.$$
2) $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),$$ функция убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty),$$ нули: $$x=\pm2.$$
3) $$D(x)=(0;+\infty),$$ функция возрастает на $$ (0;+\infty),$$ нуль: $$x=1.$$
