Упр.930 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Построить график функции:
1) $$y=2+5x^3-3x^5$$;
2) $$y=3x^5-5x^3$$;
3) $$y=4x^5-5x^4$$;
4) $$y=\frac{x^5}{10}-\frac{5x^3}{6}+2x$$.
1) $$y=2+5x^3-3x^5$$
$$y’ = 15x^2-15x^4 = 15x^2(1-x^2)=15x^2(1-x)(1+x).$$
Стационарные точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$
$$f(-1)=2-5+3=0,\qquad f(0)=2,\qquad f(1)=2+5-3=4.$$
Функция возрастает на $$(-1;0)\cup(0;1),$$ убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$
Точки экстремума: минимум при $$x=-1,$$ максимум при $$x=1.$$
2) $$y=3x^5-5x^3$$
$$y’ = 15x^4-15x^2 = 15x^2(x^2-1)=15x^2(x-1)(x+1).$$
Стационарные точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$
$$f(-1)=2,\qquad f(0)=0,\qquad f(1)=-2.$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$ убывает на $$(-1;0)\cup(0;1).$$
Точки экстремума: максимум при $$x=-1,$$ минимум при $$x=1.$$
3) $$y=4x^5-5x^4$$
$$y’ = 20x^4-20x^3 = 20x^3(x-1).$$
Стационарные точки: $$x=0,\;1.$$
$$f(0)=0,\qquad f(1)=4-5=-1.$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup(1;+\infty),$$ убывает на $$(0;1).$$
Точки экстремума: максимум при $$x=0,$$ минимум при $$x=1.$$
4) $$y=\frac{1}{10}x^5-\frac{5}{6}x^3+2x$$
$$y’=\frac{1}{2}x^4-\frac{5}{2}x^2+2.$$
Решим уравнение $$y’=0$$:
$$\frac{1}{2}x^4-\frac{5}{2}x^2+2=0 \\\\ x^4-5x^2+4=0 \\\\ (x^2-1)(x^2-4)=0.$$
Отсюда $$x=-2,\,-1,\,1,\,2.$$
Найдём значения функции в этих точках:
$$f(-2)=-\frac{8}{15},\qquad f(-1)=-\frac{19}{15},\qquad f(1)=\frac{19}{15},\qquad f(2)=\frac{8}{15}.$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-1;1)\cup(2;+\infty),$$ убывает на $$(-2;-1)\cup(1;2).$$
Точки максимума: $$x=-2,\;1.$$ Точки минимума: $$x=-1,\;2.$$
Ответ: графики функций строятся по найденным стационарным точкам, промежуткам возрастания и убывания, а также значениям функции в этих точках.
