Упр.930 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

930 1) у = 2 + 5х3 — 3х5;
2) у = 3х5 — 5х3;
3) у = 4х5 — 5х4;
4) у = 1 х5/10 — 5×3/6 + 2x.

Подробный ответ

$$y=2+5x^3-3x^5$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y'(x)=15x^2-15x^4=15x^2(1-x^2)=15x^2(1-x)(1+x).$$
Стационарные точки:
$$15x^2(1-x^2)=0 \Rightarrow x=-1,\;0,\;1.$$
Значения функции в них:
$$f(-1)=2+5(-1)^3-3(-1)^5=0,$$
$$f(0)=2,$$
$$f(1)=2+5-3=4.$$
Знаки производной:
$$f'(x)<0$$ при $$x<-1$$ и $$x>1,$$
$$f'(x)>0$$ при $$-1<x<0$$ и $$0<x<1.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$ возрастает на $$(-1;0)\cup(0;1).$$
Точки экстремума: минимум при $$x=-1,$$ максимум при $$x=1.$$
$$y=3x^5-5x^3$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y'(x)=15x^4-15x^2=15x^2(x^2-1)=15x^2(x-1)(x+1).$$
Стационарные точки:
$$15x^2(x^2-1)=0 \Rightarrow x=-1,\;0,\;1.$$
Значения функции:
$$f(-1)=3(-1)^5-5(-1)^3=2,$$
$$f(0)=0,$$
$$f(1)=3-5=-2.$$
Знаки производной:
$$f'(x)>0$$ при $$x<-1$$ и $$x>1,$$
$$f'(x)<0$$ при $$-1<x<0$$ и $$0<x<1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$ убывает на $$(-1;0)\cup(0;1).$$
Точки экстремума: максимум при $$x=-1,$$ минимум при $$x=1.$$
$$y=4x^5-5x^4$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y'(x)=20x^4-20x^3=20x^3(x-1).$$
Стационарные точки:
$$20x^3(x-1)=0 \Rightarrow x=0,\;1.$$
Значения функции:
$$f(0)=0,$$
$$f(1)=4-5=-1.$$
Знаки производной:
$$f'(x)>0$$ при $$x<0$$ и $$x>1,$$
$$f'(x)<0$$ при $$0<x<1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup(1;+\infty),$$ убывает на $$ (0;1).$$
Точки экстремума: максимум при $$x=0,$$ минимум при $$x=1.$$
$$y=\frac{1}{10}x^5-\frac{5}{6}x^3+2x$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{1}{2}x^4-\frac{5}{2}x^2+2.$$
Решим уравнение $$y'(x)=0$$:
$$\frac{1}{2}x^4-\frac{5}{2}x^2+2=0,$$
$$x^4-5x^2+4=0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-5t+4=0,$$
$$(t-1)(t-4)=0,$$
$$t=1 \text{ или } t=4.$$
Отсюда
$$x=\pm1,\;\pm2.$$
Значения функции:
$$f(-2)=-\frac{8}{15},\quad f(-1)=-\frac{19}{15},\quad f(1)=\frac{19}{15},\quad f(2)=\frac{8}{15}.$$
Так как функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат.
Знаки производной:
$$f'(x)>0$$ при $$(-\infty;-2)\cup(-1;1)\cup(2;+\infty),$$
$$f'(x)<0$$ при $$(-2;-1)\cup(1;2).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-1;1)\cup(2;+\infty),$$ убывает на $$(-2;-1)\cup(1;2).$$
Точки экстремума: максимумы при $$x=-2$$ и $$x=1,$$ минимумы при $$x=-1$$ и $$x=2.$$