Упр.928 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Построить график функции:
1) $$y=x^3-3x^2+2$$ на отрезке $$[-1;3]$$;
2) $$y=x^4-10x^2+9$$ на отрезке $$[-3;3]$$.
1) Рассмотрим функцию $$y=x^3-3x^2+2$$ на отрезке $$[-1;3].$$
Найдём производную:
$$y’=3x^2-6x=3x(x-2).$$
Стационарные точки:
$$3x(x-2)=0 \Rightarrow x=0,\; x=2.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарных точках:
$$\begin{aligned} y(-1)&=(-1)^3-3\cdot(-1)^2+2=-1-3+2=-2,\\ y(0)&=0^3-3\cdot0^2+2=2,\\ y(2)&=2^3-3\cdot2^2+2=8-12+2=-2,\\ y(3)&=3^3-3\cdot3^2+2=27-27+2=2. \end{aligned}$$
Значит, на $$[-1;3]$$ функция возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[2;3]$$, убывает на $$[0;2]$$. Точка $$x=0$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума.
2) Рассмотрим функцию $$y=x^4-10x^2+9$$ на отрезке $$[-3;3].$$
Найдём производную:
$$y’=4x^3-20x=4x(x^2-5)=4x(x-\sqrt5)(x+\sqrt5).$$
Стационарные точки:
$$x=-\sqrt5,\; x=0,\; x=\sqrt5.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарных точках:
$$\begin{aligned} y(\pm3)&=3^4-10\cdot3^2+9=81-90+9=0,\\ y(\pm\sqrt5)&=(\sqrt5)^4-10\cdot(\sqrt5)^2+9=25-50+9=-16,\\ y(0)&=0^4-10\cdot0^2+9=9. \end{aligned}$$
Следовательно, на $$[-3;3]$$ функция убывает на $$[-3;-\sqrt5]$$ и $$[0;\sqrt5]$$, возрастает на $$[-\sqrt5;0]$$ и $$[\sqrt5;3]$$. Точки $$x=\pm\sqrt5$$ — точки минимума, $$x=0$$ — точка максимума.
Ответ
1) График функции $$y=x^3-3x^2+2$$ на $$[-1;3]$$ проходит через точки $$(-1,-2),\ (0,2),\ (2,-2),\ (3,2)$$; максимум при $$x=0$$, минимум при $$x=2$$.
2) График функции $$y=x^4-10x^2+9$$ на $$[-3;3]$$ проходит через точки $$(-3,0),\ (-\sqrt5,-16),\ (0,9),\ (\sqrt5,-16),\ (3,0)$$; минимумы при $$x=\pm\sqrt5$$, максимум при $$x=0$$.
