Упр.926 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

926
1) у = х3 — 3х2 + 4;
2) у = 2 + 3х — х3;
3) у = -х3 + 4х2 — 4х;
4) у = х3 + 6х2 + 9х.

1. $$y=x^3-3x^2+4$$

   $$y’ = 3x^2-6x = 3x(x-2)$$

   $$y’=0 \iff x=0 \text{ или } x=2$$

   $$f(0)=4,\quad f(2)=8-12+4=0$$

   $$y’>0 \text{ при } x<0 \text{ и } x>2,\qquad y'<0 \text{ при } 0<x<2$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$$ и убывает на $$ (0;2) $$.

   Точка максимума: $$x=0,\ y=4$$. Точка минимума: $$x=2,\ y=0$$.

2. $$y=2+3x-x^3$$

   $$y’ = 3-3x^2 = 3(1-x^2)=3(1-x)(1+x)$$

   $$y’=0 \iff x=-1 \text{ или } x=1$$

   $$f(-1)=2-3+1=0,\quad f(1)=2+3-1=4$$

   $$y'<0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>1,\qquad y’>0 \text{ при } -1<x<1$$

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$ и возрастает на $$(-1;1)$$.

   Точка минимума: $$x=-1,\ y=0$$. Точка максимума: $$x=1,\ y=4$$.

3. $$y=-x^3+4x^2-4x$$

   $$y’=-3x^2+8x-4$$

   $$-3x^2+8x-4=0 \iff 3x^2-8x+4=0$$

   $$D=64-48=16$$

   $$x_{1,2}=\frac{8\pm4}{6} \Rightarrow x_1=\frac23,\ x_2=2$$

   $$f\!\left(\frac23\right)=-\frac{8}{27}+\frac{16}{9}-\frac{8}{3}=-\frac{32}{27},\quad f(2)=-8+16-8=0$$

   $$y’>0 \text{ при } \frac23<x<2,\qquad y'<0 \text{ при } x<\frac23 \text{ и } x>2$$

   Следовательно, функция возрастает на $$\left(\frac23;2\right)$$ и убывает на $$\left(-\infty;\frac23\right)\cup(2;+\infty)$$.

   Точка минимума: $$x=\frac23,\ y=-\frac{32}{27}$$. Точка максимума: $$x=2,\ y=0$$.

4. $$y=x^3+6x^2+9x$$

   $$y’=3x^2+12x+9=3(x^2+4x+3)=3(x+3)(x+1)$$

   $$y’=0 \iff x=-3 \text{ или } x=-1$$

   $$f(-3)=-27+54-27=0,\quad f(-1)=-1+6-9=-4$$

   $$y’>0 \text{ при } x<-3 \text{ и } x>-1,\qquad y'<0 \text{ при } -3<x<-1$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-3)\cup(-1;+\infty)$$ и убывает на $$(-3;-1)$$.

   Точка максимума: $$x=-3,\ y=0$$. Точка минимума: $$x=-1,\ y=-4$$.

Ответ

1) возрастает на $$(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$$, убывает на $$ (0;2) $$; максимум $$ (0;4) $$, минимум $$ (2;0) $$;
2) возрастает на $$(-1;1)$$, убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$; минимум $$ (-1;0) $$, максимум $$ (1;4) $$;
3) возрастает на $$\left(\frac23;2\right)$$, убывает на $$\left(-\infty;\frac23\right)\cup(2;+\infty)$$; минимум $$ \left(\frac23;-\frac{32}{27}\right) $$, максимум $$ (2;0) $$;
4) возрастает на $$(-\infty;-3)\cup(-1;+\infty)$$, убывает на $$(-3;-1)$$; максимум $$ (-3;0) $$, минимум $$ (-1;-4) $$.