Упр.926 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- 926. Построить график функции:
1) $$y=x^3-3x^2+4$$;
2) $$y=2+3x-x^3$$;
3) $$y=-x^3+4x^2-4x$$;
4) $$y=x^3+6x^2+9x$$.
1) $$y=x^3-3x^2+4$$
$$y’ = 3x^2-6x = 3x(x-2)$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2$$.
$$f(0)=4,\qquad f(2)=8-12+4=0$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$$ и убывает на $$(0;2)$$. Точка $$x=0$$ — максимум, $$x=2$$ — минимум.
2) $$y=2+3x-x^3$$
$$y’ = 3-3x^2 = 3(1-x^2)=3(1-x)(1+x)$$
Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=1$$.
$$f(-1)=2-3+1=0,\qquad f(1)=2+3-1=4$$
Функция возрастает на $$(-1;1)$$ и убывает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$. Точка $$x=-1$$ — минимум, $$x=1$$ — максимум.
3) $$y=-x^3+4x^2-4x$$
$$y’=-3x^2+8x-4$$
$$-3x^2+8x-4=0 \;\Longleftrightarrow\; 3x^2-8x+4=0$$
$$D=64-48=16$$
$$x_1=\frac{8-4}{6}=\frac23,\qquad x_2=\frac{8+4}{6}=2$$
$$f\!\left(\frac23\right)=-\frac{8}{27}+\frac{16}{9}-\frac{8}{3}=-\frac{32}{27},\qquad f(2)=-8+16-8=0$$
Функция возрастает на $$\left(\frac23;2\right)$$ и убывает на $$(-\infty;\frac23)\cup(2;+\infty)$$. Точка $$x=\frac23$$ — минимум, $$x=2$$ — максимум.
4) $$y=x^3+6x^2+9x$$
$$y’ = 3x^2+12x+9 = 3(x^2+4x+3)=3(x+3)(x+1)$$
Критические точки: $$x=-3$$ и $$x=-1$$.
$$f(-3)=-27+54-27=0,\qquad f(-1)=-1+6-9=-4$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-3)\cup(-1;+\infty)$$ и убывает на $$(-3;-1)$$. Точка $$x=-3$$ — максимум, $$x=-1$$ — минимум.
Ответ: графики всех четырёх функций строятся по найденным экстремумам и промежуткам монотонности; ключевые точки: $$(0,4),\ (2,0),\ (-1,0),\ (1,4),\ \left(\frac23,-\frac{32}{27}\right),\ (2,0),\ (-3,0),\ (-1,-4).$$
