Упр.922 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Исследовать на экстремум функцию $$y=(x+1)^n e^{-x}$$, где $$n$$ — натуральное число.

Найдём производную функции $$y=(x+1)^n e^{-x},$$ где $$n\in \mathbb{N}.$$

По правилу произведения:

$$y’ = n(x+1)^{n-1}e^{-x}-(x+1)^n e^{-x} = (x+1)^{n-1}e^{-x}(n-x-1).$$

Так как $$e^{-x}>0$$ при всех $$x,$$ то знак производной определяется выражением $$(x+1)^{n-1}(n-x-1).$$

Критические точки:

$$y’=0 \iff (x+1)^{n-1}(n-x-1)=0,$$

откуда

$$x=-1 \quad \text{и} \quad x=n-1.$$

Рассмотрим случаи.

1. Если $$n$$ нечётное, то $$n-1$$ — чётное число, значит $$(x+1)^{n-1}\ge 0$$ и знак $$y’$$ определяется только множителем $$n-x-1.$$

   Тогда при $$x<n-1$$ имеем $$y’>0,$$ а при $$x>n-1$$ имеем $$y'<0.$$ Следовательно, в точке $$x=n-1$$ функция имеет максимум.

2. Если $$n$$ чётное, то $$n-1$$ — нечётное число, и знак $$(x+1)^{n-1}$$ меняется при переходе через $$x=-1.$$

   Получаем:

   при $$x<-1$$ — $$y'<0,$$

   при $$-1<x<n-1$$ — $$y’>0,$$

   при $$x>n-1$$ — $$y'<0.$$

   Значит, $$x=-1$$ — точка минимума, а $$x=n-1$$ — точка максимума.

Ответ: если $$n$$ нечётное, то функция имеет максимум при $$x=n-1$$; если $$n$$ чётное, то минимум при $$x=-1$$ и максимум при $$x=n-1$$.