Упр.920 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:
- $$y=\frac{(2-x)^3}{(3-x)^2}$$;
- $$y=\frac{x^3+2x^2}{(x-1)^2}$$;
- $$y=(x-1)e^{3x}$$;
- $$y=\frac{\sin x+1}{\sin 2x/2}$$;
- $$y=e^{\sqrt{3-x^2}}$$;
- $$y=\sqrt{e^x-x}$$.
1) $$y=\frac{(2-x)^3}{(3-x)^2}$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{-3(2-x)^2(3-x)^2+2(3-x)(2-x)^3}{(3-x)^4} =\frac{(2-x)^2(3-x)(x-5)}{(3-x)^4}$$
Критические точки: $$x=2$$ и $$x=5$$, при этом $$x=3$$ не входит в область определения.
Так как $$\frac{(2-x)^2}{(3-x)^4}\ge 0$$, знак производной определяется выражением $$\frac{x-5}{3-x}$$. В точке $$x=5$$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.
$$y(5)=\frac{(2-5)^3}{(3-5)^2}=\frac{-27}{4}$$
Ответ: $$x=5$$ — точка максимума, $$y(5)=-\frac{27}{4}$$.
2) $$y=\frac{x^3+2x^2}{(x-1)^2}$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{(3x^2+4x)(x-1)^2-(x^3+2x^2)\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4} =\frac{x(x+1)(x-4)}{(x-1)^3}$$
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;4$$, при этом $$x=1$$ не входит в область определения.
Исследование знака производной даёт:
- при $$x=-1$$ — точка максимума;
- при $$x=0$$ — точка минимума;
- при $$x=4$$ — точка минимума.
Значения функции:
$$y(-1)=\frac{-1+2}{(-2)^2}=\frac14,\qquad y(0)=0,\qquad y(4)=\frac{64+32}{3^2}=\frac{32}{3}$$
Ответ: $$x=-1$$ — точка максимума, $$y(-1)=\frac14$$; $$x=0$$ — точка минимума, $$y(0)=0$$; $$x=4$$ — точка минимума, $$y(4)=\frac{32}{3}$$.
3) $$y=(x-1)e^{3x}$$
Найдём производную:
$$y’=e^{3x}+3(x-1)e^{3x}=e^{3x}(3x-2)$$
Так как $$e^{3x}>0$$ при всех $$x$$, то
$$y’=0 \iff 3x-2=0 \iff x=\frac23$$
При переходе через $$x=\frac23$$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.
$$y\!\left(\frac23\right)=\left(\frac23-1\right)e^2=-\frac{e^2}{3}$$
Ответ: $$x=\frac23$$ — точка минимума, $$y\!\left(\frac23\right)=-\frac{e^2}{3}$$.
4) $$y=\sin x+\frac12\sin 2x$$
Найдём производную:
$$y’=\cos x+\cos 2x =\cos x+(2\cos^2 x-1) =2\cos^2 x+\cos x-1$$
Положим $$t=\cos x$$. Тогда
$$2t^2+t-1=0 \iff (2t-1)(t+1)=0$$
Отсюда
$$\cos x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=-1$$
Следовательно, критические точки:
$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z$$
Значения функции:
$$y\!\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n\right)=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{4}$$
$$y\!\left(\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right)=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{3\sqrt3}{4}$$
Ответ: $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ — точки максимума, $$y=\frac{3\sqrt3}{4}$$; $$x=\frac{5\pi}{3}+2\pi n$$ — точки минимума, $$y=-\frac{3\sqrt3}{4}$$, $$n\in\mathbb Z$$.
5) $$y=e^{\sqrt{3-x^2}}$$
Область определения:
$$3-x^2\ge 0 \iff -\sqrt3\le x\le \sqrt3$$
Найдём производную:
$$y’ = e^{\sqrt{3-x^2}}\cdot \frac{-x}{\sqrt{3-x^2}}$$
Так как $$e^{\sqrt{3-x^2}}>0$$, знак производной определяется знаком $$-x$$. Значит, функция возрастает при $$x<0$$ и убывает при $$x>0$$.
Следовательно, в точке $$x=0$$ достигается максимум:
$$y(0)=e^{\sqrt3}$$
Ответ: $$x=0$$ — точка максимума, $$y(0)=e^{\sqrt3}$$.
6) $$y=\sqrt{e^x-x}$$
Область определения задаётся неравенством:
$$e^x-x\ge 0$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{e^x-1}{2\sqrt{e^x-x}}$$
Внутри области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем:
$$y’=0 \iff e^x-1=0 \iff x=0$$
При $$x<0$$ имеем $$e^x<1$$, значит $$y'<0$$; при $$x>0$$ имеем $$y’>0$$. Следовательно, $$x=0$$ — точка минимума.
$$y(0)=\sqrt{e^0-0}=1$$
Ответ: $$x=0$$ — точка минимума, $$y(0)=1$$.
