Упр.919 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти точки экстремума функции:
1) $$y=x+\sqrt{3-x}$$;
2) $$y=(x-1)^{\frac{6}{7}}$$;
3) $$y=x-\sin 2x$$;
4) $$y=\cos 3x-3x$$.
1) $$y=x+\sqrt{3-x}$$
Найдём производную:
$$y’=1-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}.$$
Критические точки найдём из уравнения $$y’=0$$:
$$1-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}=0,$$
$$\frac{1}{2\sqrt{3-x}}=1,$$
$$2\sqrt{3-x}=1,$$
$$\sqrt{3-x}=\frac12,$$
$$3-x=\frac14,$$
$$x=\frac{11}{4}.$$
Область определения: $$3-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 3.$$
При $$x<\frac{11}{4}$$ производная положительна, а при $$\frac{11}{4}<x<3$$ — отрицательна, значит в точке $$x=\frac{11}{4}$$ функция имеет максимум.
2) $$y=(x-1)^{\frac67}$$
Найдём производную:
$$y’=\frac67(x-1)^{-\frac17}=\frac{6}{7\sqrt[7]{x-1}}.$$
Производная не обращается в нуль ни при каком $$x$$, а в точке $$x=1$$ не существует. Следовательно, точек экстремума нет.
3) $$y=x-\sin 2x$$
Найдём производную:
$$y’=1-2\cos 2x.$$
Критические точки найдём из уравнения $$y’=0$$:
$$1-2\cos 2x=0,$$
$$\cos 2x=\frac12.$$
Отсюда
$$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
При $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит это точки минимума. При $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$ производная меняет знак с плюса на минус, значит это точки максимума.
4) $$y=\cos 3x-3x$$
Найдём производную:
$$y’=-3\sin 3x-3=-3(\sin 3x+1).$$
Из уравнения $$y’=0$$ получаем:
$$\sin 3x=-1.$$
Но тогда $$y’=-3(\sin 3x+1)\le 0$$ при всех $$x$$, и знак производной не меняется. Следовательно, точек экстремума нет.
Ответ
1) $$x=\frac{11}{4}$$ — точка максимума; 2) точек экстремума нет; 3) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$ — точки минимума, $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$ — точки максимума, $$n\in\mathbb Z$$; 4) точек экстремума нет.
