Упр.919 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) y=x+ корень (3-x);
2) y=(x-1)6/7;
3) у = х — sin 2х;
4) у = cos 3х — 3х.

1. $$y=x+\sqrt{3-x}$$

   Найдём производную:

   $$y’=1-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}.$$

   Критическая точка находится из уравнения $$y’=0$$:

   $$ 1-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}=0 $$
   $$ 2\sqrt{3-x}=1 $$
   $$ 4(3-x)=1 $$
   $$ 12-4x=1 $$
   $$ x=\frac{11}{4}. $$

   Область определения: $$3-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 3.$$

   При $$x<\frac{11}{4}$$ производная положительна, а при $$\frac{11}{4}<x<3$$ — отрицательна, значит в точке $$x=\frac{11}{4}$$ функция имеет максимум.

2. $$y=(x-1)^{\frac{6}{7}}$$

   Найдём производную:

   $$y’=\frac{6}{7}(x-1)^{-\frac{1}{7}}=\frac{6}{7\sqrt[7]{x-1}}.$$

   Производная не обращается в ноль, а в точке $$x=1$$ не существует. Знак производной по разные стороны от $$x=1$$ не меняется, поэтому точек экстремума нет.

3. $$y=x-\sin 2x$$

   Найдём производную:

   $$y’=1-2\cos 2x.$$

   Критические точки из уравнения $$y’=0$$:

   $$ 1-2\cos 2x=0 $$
   $$ \cos 2x=\frac12 $$
   $$ 2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
   $$ x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

   При $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит это точки минимума. При $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$ производная меняет знак с плюса на минус, значит это точки максимума.

4. $$y=\cos 3x-3x$$

   Найдём производную:

   $$y’=-3\sin 3x-3=-3(\sin 3x+1).$$

   Из уравнения $$y’=0$$ получаем:

   $$ \sin 3x=-1 $$
   $$ 3x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
   $$ x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z. $$

   Но $$\sin 3x+1\ge 0,$$ значит $$y’=-3(\sin 3x+1)\le 0$$ при всех $$x$$ из области определения. Производная знак не меняет, поэтому точек экстремума нет.

Ответ

1) $$x=\frac{11}{4}$$ — точка максимума;
2) точек экстремума нет;
3) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$ — точки максимума, $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$ — точки минимума, $$n\in\mathbb Z$$;
4) точек экстремума нет.