Упр.918 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти критические точки функции:

1. 1) $$y=\sqrt{2-3x^2}$$; 2) $$y=\sqrt{x^3-3x}$$; 3) $$y=|x-1|$$; 4) $$x^2-|x|-2$$.

1) $$y=\sqrt{2-3x^2}$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{(2-3x^2)’}{2\sqrt{2-3x^2}}=\frac{-6x}{2\sqrt{2-3x^2}}=-\frac{3x}{\sqrt{2-3x^2}}.$$

Критические точки — это точки, где $$y’=0$$ или производная не существует, но функция определена.

1) $$y’=0 \Rightarrow -3x=0 \Rightarrow x=0.$$

2) Производная не существует при $$2-3x^2=0,$$ то есть

$$x^2=\frac{2}{3}, \quad x=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}=\pm\frac{\sqrt6}{3}.$$

Следовательно, критические точки:

$$x=-\frac{\sqrt6}{3},\ 0,\ \frac{\sqrt6}{3}.$$

2) $$y=\sqrt{x^3-3x}$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{(x^3-3x)’}{2\sqrt{x^3-3x}}=\frac{3x^2-3}{2\sqrt{x^3-3x}}=\frac{3(x^2-1)}{2\sqrt{x^3-3x}}.$$

1) $$y’=0 \Rightarrow 3(x^2-1)=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1.$$

2) Производная не существует при $$x^3-3x=0,$$ то есть

$$x(x^2-3)=0 \Rightarrow x=0,\ \pm\sqrt3.$$

Из них в область определения функции входят точки, где подкоренное выражение неотрицательно, поэтому критические точки:

$$x=-\sqrt3,\ -1,\ 0,\ 1,\ \sqrt3.$$

3) $$y=|x-1|$$

Функция не имеет производной в точке излома, где

$$x-1=0 \Rightarrow x=1.$$

Значит, критическая точка:

$$x=1.$$

4) $$y=x^2-|x|-2$$

Рассмотрим по частям:

$$y= \begin{cases} x^2-x-2, & x\ge 0,\\ x^2+x-2, & x<0. \end{cases}$$

Тогда

$$y’= \begin{cases} 2x-1, & x>0,\\ 2x+1, & x<0. \end{cases}$$

1) При $$x>0$$:

$$2x-1=0 \Rightarrow x=\frac12.$$

2) При $$x<0$$:

$$2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac12.$$

В точке $$x=0$$ производная не существует, значит это тоже критическая точка.

Итак, критические точки:

$$x=-\frac12,\ 0,\ \frac12.$$