Упр.915 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:
1) $$y=x^3-3x^2$$;
2) $$y=x^4-8x^2+3$$;
3) $$y=x+\sin x$$;
4) $$y=2\cos x+x$$.
1) $$y=x^3-3x^2$$
Найдём производную:
$$y’=3x^2-6x=3x(x-2).$$
Критические точки:
$$3x(x-2)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\; x=2.$$
Исследуем знак производной: при $$x<0$$ имеем $$y’>0$$, при $$0<x<2$$ — $$y'<0$$, при $$x>2$$ — $$y’>0$$. Значит, $$x=0$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума.
Значения функции:
$$y(0)=0^3-3\cdot 0^2=0,$$
$$y(2)=2^3-3\cdot 2^2=8-12=-4.$$
2) $$y=x^4-8x^2+3$$
Найдём производную:
$$y’=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2).$$
Критические точки:
$$4x(x-2)(x+2)=0 \;\Rightarrow\; x=-2,\; x=0,\; x=2.$$
Исследуем знак производной: при $$x<-2$$ $$y'<0$$, при $$-2<x<0$$ $$y’>0$$, при $$0<x<2$$ $$y'<0$$, при $$x>2$$ $$y’>0$$. Следовательно, $$x=-2$$ и $$x=2$$ — точки минимума, а $$x=0$$ — точка максимума.
Значения функции:
$$y(-2)=(-2)^4-8\cdot (-2)^2+3=16-32+3=-13,$$
$$y(0)=0^4-8\cdot 0^2+3=3,$$
$$y(2)=2^4-8\cdot 2^2+3=16-32+3=-13.$$
3) $$y=x+\sin x$$
Найдём производную:
$$y’=1+\cos x.$$
Так как $$-1\le \cos x\le 1$$, то
$$0\le 1+\cos x\le 2.$$
Следовательно, $$y’$$ не принимает отрицательных значений, а значит, точек экстремума нет.
4) $$y=2\cos x+x$$
Найдём производную:
$$y’=-2\sin x+1.$$
Критические точки:
$$-2\sin x+1=0 \;\Rightarrow\; \sin x=\frac12.$$
Отсюда
$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
При переходе через $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$$ производная меняет знак с $$+$$ на $$-$$, значит, это точка максимума. При переходе через $$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$ производная меняет знак с $$-$$ на $$+$$, значит, это точка минимума.
Значения функции:
$$y\!\left(\frac{\pi}{6}+2\pi n\right)=2\cos\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}+2\pi n=\sqrt3+\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$
$$y\!\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right)=2\cos\frac{5\pi}{6}+\frac{5\pi}{6}+2\pi n=-\sqrt3+\frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$
Ответ
1) $$x=0$$ — точка максимума, $$y(0)=0$$; $$x=2$$ — точка минимума, $$y(2)=-4$$.
2) $$x=0$$ — точка максимума, $$y(0)=3$$; $$x=-2$$ и $$x=2$$ — точки минимума, $$y(-2)=y(2)=-13$$.
3) Точек экстремума нет.
4) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$$ — точки максимума, $$y=\sqrt3+\frac{\pi}{6}+2\pi n$$; $$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$ — точки минимума, $$y=-\sqrt3+\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.
