Упр.913 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти стационарные точки функции:
   
   1) $$y=\frac{2+x^2}{x}$$;
   
   2) $$y=\frac{x^2+3}{2x}$$;
   
   3) $$y=e^{x^2-1}$$;
   
   4) $$y=2^{x^2+x}$$.

Найдём стационарные точки, то есть точки, в которых $$y'(x)=0$$.

1. $$y=\frac{2+x^2}{x}=\frac{2}{x}+x,\qquad x\ne 0.$$

   $$y’=-\frac{2}{x^2}+1.$$

   Приравниваем производную к нулю:

   $$-\frac{2}{x^2}+1=0 \;\Rightarrow\; \frac{2}{x^2}=1 \;\Rightarrow\; x^2=2 \;\Rightarrow\; x=\pm\sqrt{2}.$$

   Ответ: $$x=\pm\sqrt{2}.$$

2. $$y=\frac{x^2+3}{2x}=\frac{x}{2}+\frac{3}{2x},\qquad x\ne 0.$$

   $$y’=\frac12-\frac{3}{2x^2}.$$

   Приравниваем производную к нулю:

   $$\frac12-\frac{3}{2x^2}=0 \;\Rightarrow\; \frac12=\frac{3}{2x^2} \;\Rightarrow\; x^2=3 \;\Rightarrow\; x=\pm\sqrt{3}.$$

   Ответ: $$x=\pm\sqrt{3}.$$

3. $$y=e^{x^2-1}.$$

   $$y’=(x^2-1)’e^{x^2-1}=2x\,e^{x^2-1}.$$

   Так как $$e^{x^2-1}>0$$ при любых $$x$$, то

   $$2x\,e^{x^2-1}=0 \;\Rightarrow\; 2x=0 \;\Rightarrow\; x=0.$$

   Ответ: $$x=0.$$

4. $$y=2^{x^2+x}.$$

   $$y’ = 2^{x^2+x}\ln 2\,(2x+1).$$

   Приравниваем производную к нулю:

   $$2^{x^2+x}\ln 2\,(2x+1)=0.$$

   Так как $$2^{x^2+x}>0$$ и $$\ln 2>0$$, то

   $$2x+1=0 \;\Rightarrow\; x=-\frac12.$$

   Ответ: $$x=-\frac12.$$