Упр.909 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ функция $$y=ax^3+3x^2-2x+5$$ убывает на всей числовой прямой?

Найдём производную функции:

$$y=ax^3+3x^2-2x+5$$

$$y’ = 3ax^2+6x-2.$$

Чтобы функция убывала на всей числовой прямой, нужно, чтобы

$$3ax^2+6x-2<0$$

при всех $$x\in\mathbb{R}$$.

Квадратный трёхчлен будет отрицателен при всех $$x$$, если:

$$\begin{cases} 3a<0,\\ D<0. \end{cases}$$

Вычислим дискриминант:

$$D=6^2-4\cdot 3a\cdot(-2)=36+24a.$$

Тогда

$$36+24a<0,$$

$$24a<-36,$$

$$a<-\frac{3}{2}.$$

Это условие уже обеспечивает и $$3a<0$$.

Ответ: $$a<-\frac{3}{2}.$$