Упр.908 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ функция $$y=x^3-2x^2+ax$$ возрастает на всей числовой прямой?

Найдём производную функции:

$$y=x^3-2x^2+ax$$

$$y’=(x^3)’ — 2(x^2)’ + a(x)’ = 3x^2 — 4x + a.$$

Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, нужно, чтобы

$$y’ \ge 0$$

при всех $$x$$. Так как $$y’ = 3x^2 — 4x + a$$ — квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом, он неотрицателен при всех $$x$$ тогда и только тогда, когда его дискриминант не положителен:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot a = 16 — 12a \le 0.$$

Отсюда

$$12a \ge 16,$$

$$a \ge \frac{4}{3}.$$

Ответ: $$a \ge \frac{4}{3}$$.