Упр.907 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ функция возрастает на всей числовой прямой: 1) $$y=x^3-ax$$; 2) $$y=ax-\sin x$$?

1. Найдём производную функции $$y=x^3-ax.$$

   $$y’=3x^2-a.$$

   Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, нужно, чтобы

   $$3x^2-a\ge 0$$

   при всех $$x\in \mathbb{R}.$$

   Так как $$3x^2\ge 0$$ для любого $$x,$$ наименьшее значение выражения $$3x^2-a$$ достигается при $$x=0$$ и равно $$-a.$$

   Следовательно, должно выполняться

   $$-a\ge 0,$$

   то есть

   $$a\le 0.$$

2. Найдём производную функции $$y=ax-\sin x.$$

   $$y’=a-\cos x.$$

   Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, нужно, чтобы

   $$a-\cos x\ge 0$$

   при всех $$x\in \mathbb{R}.$$

   Так как $$\cos x\le 1,$$ наименьшее значение выражения $$a-\cos x$$ равно $$a-1.$$ Поэтому должно быть

   $$a-1\ge 0,$$

   то есть

   $$a\ge 1.$$

Ответ: 1) $$a\le 0$$; 2) $$a\ge 1$$.