Упр.903 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найдём производные и исследуем их знак.
$$y=\frac{x^3}{x^2+3}$$
$$y’=\frac{(x^3)'(x^2+3)-x^3(x^2+3)’}{(x^2+3)^2}=\frac{3x^2(x^2+3)-x^3\cdot 2x}{(x^2+3)^2}=\frac{x^4+9x^2}{(x^2+3)^2}.$$
Так как $$x^4+9x^2\ge 0$$ и $$\left(x^2+3\right)^2>0$$ при всех $$x\in\mathbb R,$$ то $$y’\ge 0$$ для всех $$x\in\mathbb R.$$
Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.
$$y=\frac{(x-2)(8-x)}{x^2}=\frac{-x^2+10x-16}{x^2}, \qquad x\ne 0.$$
$$y’=\left(\frac{-x^2+10x-16}{x^2}\right)’=\frac{( -2x+10)x^2-(-x^2+10x-16)\cdot 2x}{x^4}=\frac{32x-10x^2}{x^3}=\frac{2x(16-5x)}{x^3}.$$
Знак производной определяется выражением $$\frac{16-5x}{x^2},$$ поэтому при $$x\ne 0$$ имеем $$y’>0$$ тогда и только тогда, когда $$16-5x>0,$$ то есть $$x<\frac{16}{5}.$$
С учётом области определения получаем: функция возрастает на $$\left(0;\frac{16}{5}\right)$$ и убывает на $$\left(-\infty;0\right)\cup\left(\frac{16}{5};+\infty\right).$$
$$y=(x-1)e^{3x}$$
$$y’=(x-1)’e^{3x}+(x-1)(e^{3x})’=e^{3x}+3(x-1)e^{3x}=e^{3x}(3x-2).$$
Так как $$e^{3x}>0$$ при всех $$x,$$ знак производной определяется множителем $$3x-2.$$
$$3x-2>0 \iff x>\frac{2}{3}.$$
Значит, функция возрастает на $$\left(\frac{2}{3};+\infty\right)$$ и убывает на $$\left(-\infty;\frac{2}{3}\right).$$
$$y=xe^{-3x}$$
$$y’=1\cdot e^{-3x}+x\cdot(-3)e^{-3x}=e^{-3x}(1-3x).$$
Так как $$e^{-3x}>0$$ при всех $$x,$$ то знак производной определяется выражением $$1-3x.$$
$$1-3x>0 \iff x<\frac{1}{3}.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac{1}{3}\right)$$ и убывает на $$\left(\frac{1}{3};+\infty\right).$$
Ответ
1) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;
2) возрастает на $$\left(0;\frac{16}{5}\right)$$, убывает на $$\left(-\infty;0\right)\cup\left(\frac{16}{5};+\infty\right)$$;
3) возрастает на $$\left(\frac{2}{3};+\infty\right)$$, убывает на $$\left(-\infty;\frac{2}{3}\right)$$;
4) возрастает на $$\left(-\infty;\frac{1}{3}\right)$$, убывает на $$\left(\frac{1}{3};+\infty\right).$$
