Упр.900 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти промежутки возрастания и убывания функции:
- $$y=x^2-x$$;
- $$y=5x^2-3x-1$$;
- $$y=x^2+2x$$;
- $$y=x^2+12x-100$$;
- $$y=x^3-3x$$;
- $$y=x^4-2x^2$$;
- $$y=2x^3-3x^2-36x+40$$;
- $$y=x^3-6x^2+9$$.
1) $$y=x^2-x$$
$$y’=2x-1$$
$$2x-1>0 \Rightarrow x>\frac12$$
Значит, функция возрастает на $$\left(\frac12;+\infty\right)$$ и убывает на $$\left(-\infty;\frac12\right).$$
2) $$y=5x^2-3x-1$$
$$y’=10x-3$$
$$10x-3>0 \Rightarrow x>\frac3{10}$$
Значит, функция возрастает на $$\left(\frac3{10};+\infty\right)$$ и убывает на $$\left(-\infty;\frac3{10}\right).$$
3) $$y=x^2+2x$$
$$y’=2x+2=2(x+1)$$
$$2(x+1)>0 \Rightarrow x>-1$$
Значит, функция возрастает на $$(-1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-1).$$
4) $$y=x^2+12x-100$$
$$y’=2x+12=2(x+6)$$
$$2(x+6)>0 \Rightarrow x>-6$$
Значит, функция возрастает на $$(-6;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-6).$$
5) $$y=x^3-3x$$
$$y’=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$
$$3(x-1)(x+1)>0 \Rightarrow x<-1 \text{ или } x>1$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$ и убывает на $$(-1;1).$$
6) $$y=x^4-2x^2$$
$$y’=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$$
Исследуем знак производной по промежуткам, разделённым точками $$-1, 0, 1$$:
$$y’>0$$ на $$(-1;0)\cup(1;+\infty),$$
$$y'<0$$ на $$(-\infty;-1)\cup(0;1).$$
Значит, функция возрастает на $$(-1;0)\cup(1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-1)\cup(0;1).$$
7) $$y=2x^3-3x^2-36x+40$$
$$y’=6x^2-6x-36=6(x^2-x-6)=6(x+2)(x-3)$$
$$6(x+2)(x-3)>0 \Rightarrow x<-2 \text{ или } x>3$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(3;+\infty)$$ и убывает на $$(-2;3).$$
8) $$y=x^3-6x^2+9$$
$$y’=3x^2-12x=3x(x-4)$$
$$3x(x-4)>0 \Rightarrow x<0 \text{ или } x>4$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup(4;+\infty)$$ и убывает на $$(0;4).$$
Ответ
1) возрастает на $$\left(\frac12;+\infty\right)$$, убывает на $$\left(-\infty;\frac12\right)$$;
2) возрастает на $$\left(\frac3{10};+\infty\right)$$, убывает на $$\left(-\infty;\frac3{10}\right)$$;
3) возрастает на $$(-1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1)$$;
4) возрастает на $$(-6;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-6)$$;
5) возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$, убывает на $$(-1;1)$$;
6) возрастает на $$(-1;0)\cup(1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1)\cup(0;1)$$;
7) возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(3;+\infty)$$, убывает на $$(-2;3)$$;
8) возрастает на $$(-\infty;0)\cup(4;+\infty)$$, убывает на $$(0;4).$$
