Упр.899 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 899 Доказать, что функция f(x) = x2 + 2/x возрастает на промежутке (1; +бесконечность), убывает на промежутках (-бесконечность; 0) и (0; 1).

Подробный ответ

Найдём производную функции $$f(x)=x^2+\frac{2}{x}.$$

$$f'(x)=2x-\frac{2}{x^2}=2\left(x-\frac{1}{x^2}\right), \qquad x\ne 0.$$

Исследуем знак производной:

$$f'(x)>0 \iff 2x-\frac{2}{x^2}>0 \iff x-\frac{1}{x^2}>0.$$

Так как при $$x\ne 0$$ имеем $$x^2>0,$$ умножим неравенство на $$x^2$$:

$$x^3-1>0 \iff x^3>1 \iff x>1.$$

Значит, функция возрастает на промежутке $$ (1;+\infty). $$

Теперь рассмотрим знак производной на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$ (0;1). $$

Если $$x<1,$$ то $$x^3-1<0,$$ следовательно, $$f'(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;0)$$ и при $$x\in(0;1).$$

Значит, функция убывает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$ (0;1). $$