Упр.899 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что функция $$f(x)=x^2+\frac{2}{x}$$ возрастает на промежутке $$(1;+\infty)$$, убывает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;1)$$.

Найдём производную функции $$f(x)=x^2+\frac{2}{x}.$$

$$f'(x)=2x-\frac{2}{x^2}=2\left(x-\frac{1}{x^2}\right), \qquad x\ne 0.$$

Исследуем знак производной:

$$f'(x)>0 \iff x-\frac{1}{x^2}>0 \iff x^3-1>0 \iff x>1.$$

Значит, на промежутке $$\left(1;+\infty\right)$$ функция возрастает.

Теперь рассмотрим остальные промежутки области определения.

Если $$x<0,$$ то $$2x<0$$ и $$-\frac{2}{x^2}<0,$$ поэтому $$f'(x)<0.$$ Следовательно, на промежутке $$\left(-\infty;0\right)$$ функция убывает.

Если $$0<x<1,$$ то $$x-\frac{1}{x^2}<0,$$ значит $$f'(x)<0.$$ Следовательно, на промежутке $$\left(0;1\right)$$ функция также убывает.

Ответ

Функция возрастает на $$\left(1;+\infty\right)$$, убывает на $$\left(-\infty;0\right)$$ и $$\left(0;1\right).$$