Упр.898 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Две параллельные касательные к графику функции $$y=x^3-6$$ пересекают оси координат: одна — в точках А и В, другая — в точках С и D. Найти площадь треугольника АОВ, если она в 4 раза меньше площади треугольника COD.

Пусть точки касания параллельных касательных — $$x=a$$ и $$x=b$$. Тогда для функции $$f(x)=x^3-6$$ имеем

$$f'(x)=3x^2,$$

уравнения касательных:

$$y=3a^2x-2a^3-6,$$

$$y=3b^2x-2b^3-6.$$

Найдём точки пересечения с осями координат.

Для первой касательной:

$$A(0,\,-2a^3-6),$$

$$B\left(\frac{2(a^3+3)}{3a^2},\,0\right).$$

Тогда площадь треугольника $$AOB$$ равна

$$S_{AOB}=\frac12 \cdot \left| -2a^3-6 \right| \cdot \left| \frac{2(a^3+3)}{3a^2} \right|=\frac{2(a^3+3)^2}{3a^2}.$$

Аналогично для второй касательной:

$$S_{COD}=\frac{2(b^3+3)^2}{3b^2}.$$

Так как касательные параллельны, их угловые коэффициенты равны:

$$3a^2=3b^2 \;\Rightarrow\; a^2=b^2 \;\Rightarrow\; b=-a,$$

поскольку касательные разные.

По условию $$S_{AOB}$$ в 4 раза меньше $$S_{COD}$$, значит

$$4S_{AOB}=S_{COD}.$$

Подставим найденные выражения:

$$4\cdot \frac{2(a^3+3)^2}{3a^2}=\frac{2(b^3+3)^2}{3b^2}.$$

С учётом $$b=-a$$ получаем

$$4(a^3+3)^2=(3-a^3)^2.$$

Обозначим $$t=a^3$$. Тогда

$$4(t+3)^2=(3-t)^2,$$

$$4(t^2+6t+9)=t^2-6t+9,$$

$$3t^2+30t+27=0,$$

$$t^2+10t+9=0.$$

Отсюда

$$t=-1 \quad \text{или} \quad t=-9.$$

Значит,

$$a^3=-1 \Rightarrow a=-1,$$

или

$$a^3=-9 \Rightarrow a=-\sqrt[3]{9}.$$

Найдём площадь $$S_{AOB}$$:

$$S_{AOB}=\frac{2(a^3+3)^2}{3a^2}.$$

При $$a=-1$$:

$$S_{AOB}=\frac{2(-1+3)^2}{3\cdot 1}=\frac{8}{3}.$$

При $$a=-\sqrt[3]{9}$$:

$$S_{AOB}=\frac{2(-9+3)^2}{3\cdot \sqrt[3]{81}}=\frac{8}{\sqrt[3]{3}}.$$

Ответ: $$\frac{8}{3}$$ или $$\frac{8}{\sqrt[3]{3}}$$.