Упр.897 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 897 Найти общие касательные к графикам функций f (х) = х2 — 4х + 3 и g (х) = -х2 + 6х — 10. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 897 1111

Пусть общая касательная к графику функции $$f(x)=x^2-4x+3$$ касается его в точке $$x=a$$, а к графику функции $$g(x)=-x^2+6x-10$$ — в точке $$x=b$$.

Тогда производные равны угловым коэффициентам касательных:

$$f'(x)=2x-4,\qquad g'(x)=-2x+6.$$

Уравнение касательной к графику $$f(x)$$ в точке $$x=a$$:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$

$$y=a^2-4a+3+(2a-4)(x-a)$$

$$y=(2a-4)x+(3-a^2).$$

Уравнение касательной к графику $$g(x)$$ в точке $$x=b$$:

$$y=g(b)+g'(b)(x-b)$$

$$y=-b^2+6b-10+(6-2b)(x-b)$$

$$y=(6-2b)x+(b^2-10).$$

Так как это одна и та же касательная, то

$$ \begin{cases} 2a-4=6-2b,\\ 3-a^2=b^2-10. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$a+b=5,\qquad a=5-b.$$

Подставим во второе:

$$3-a^2=b^2-10$$

$$a^2+b^2=13.$$

Тогда

$$ (5-b)^2+b^2=13 $$

$$ 25-10b+b^2+b^2=13 $$

$$ 2b^2-10b+12=0 $$

$$ b^2-5b+6=0 $$

$$ (b-2)(b-3)=0. $$

Следовательно, $$b=2$$ или $$b=3$$.

Если $$b=2$$, то $$a=3$$, и уравнение касательной:

$$y=(2\cdot 3-4)x+(3-3^2)=2x-6.$$

Если $$b=3$$, то $$a=2$$, и уравнение касательной:

$$y=(2\cdot 2-4)x+(3-2^2)=-1.$$

Ответ

$$y=2x-6,\qquad y=-1.$$