Упр.897 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти общие касательные к графикам функций $$f(x)=x^2-4x+3$$ и $$g(x)=-x^2+6x-10$$.

Пусть $$x=a$$ — точка касания графика функции $$f(x)=x^2-4x+3,$$ а $$x=b$$ — точка касания графика функции $$g(x)=-x^2+6x-10.$$

Найдём уравнения касательных.

Для функции $$f(x):$$

$$f'(x)=2x-4,$$
$$f'(a)=2a-4,$$
$$f(a)=a^2-4a+3.$$

Уравнение касательной:

$$y=a^2-4a+3+(2a-4)(x-a),$$
$$y=(2a-4)x+(3-a^2).$$

Для функции $$g(x):$$

$$g'(x)=-2x+6,$$
$$g'(b)=6-2b,$$
$$g(b)=-b^2+6b-10.$$

Уравнение касательной:

$$y=-b^2+6b-10+(6-2b)(x-b),$$
$$y=(6-2b)x+(b^2-10).$$

Так как касательные общие, их коэффициенты при $$x$$ и свободные члены равны:

$$\begin{cases} 2a-4=6-2b,\\ 3-a^2=b^2-10. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$a+b=5,$$
$$a=5-b.$$

Подставим во второе:

$$3-(5-b)^2=b^2-10,$$
$$3-(25-10b+b^2)=b^2-10,$$
$$2b^2-10b+12=0,$$
$$b^2-5b+6=0,$$
$$(b-2)(b-3)=0.$$

Отсюда $$b=2$$ или $$b=3.$$ Тогда

если $$b=2,$$ то $$a=3;$$
если $$b=3,$$ то $$a=2.$$

Найдём уравнения общих касательных.

При $$a=3$$:

$$y=(2\cdot 3-4)x+(3-3^2)=2x-6.$$

При $$a=2$$:

$$y=(2\cdot 2-4)x+(3-2^2)=-1.$$

Ответ

$$y=2x-6,\quad y=-1.$$