Упр.896 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Выяснить, при каких значениях параметра $$a$$ прямая $$y=ax-2$$ касается графика функции $$y=1+\ln x$$.

Пусть $$x_0$$ — абсцисса точки касания. Тогда для функции $$y=1+\ln x$$ имеем

$$y'(x)=\frac{1}{x}, \qquad y'(x_0)=\frac{1}{x_0}.$$

Уравнение касательной к графику в точке $$x_0$$:

$$y=1+\ln x_0+\frac{1}{x_0}(x-x_0).$$

Упростим:

$$y=\frac{x}{x_0}+\ln x_0.$$

Так как по условию касательная имеет вид $$y=ax-2$$, то коэффициенты при $$x$$ и свободные члены должны совпадать:

$$a=\frac{1}{x_0}, \qquad \ln x_0=-2.$$

Из второго уравнения:

$$x_0=e^{-2}.$$

Тогда

$$a=\frac{1}{e^{-2}}=e^2.$$

Ответ

$$a=e^2$$