Упр.896 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 896 Выяснить, при каких значениях параметра а прямая у = ах — 2 касается графика функции у = 1 + ln х. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 896 1111

Пусть $$x_0$$ — абсцисса точки касания. Тогда для функции $$y=1+\ln x$$ имеем

$$y'(x)=\frac{1}{x}, \qquad y'(x_0)=\frac{1}{x_0}.$$

Уравнение касательной в точке $$x_0$$:

$$y=1+\ln x_0+\frac{1}{x_0}(x-x_0).$$

Упростим:

$$y=\frac{x}{x_0}+\ln x_0.$$

Так как эта прямая совпадает с прямой $$y=ax-2$$, то

$$a=\frac{1}{x_0}, \qquad \ln x_0=-2.$$

Из второго равенства получаем

$$x_0=e^{-2}=\frac{1}{e^2}.$$

Тогда

$$a=\frac{1}{x_0}=\frac{1}{1/e^2}=e^2.$$

Ответ

$$a=e^2$$