Упр.894 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 894 Найти все такие точки графика функции у =(4x-2^)x+1))/ln4, в которых касательная к этому графику параллельна прямой у = 2х + 5. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 894 1111

Найдём производную функции

$$y=\frac{4^x-2^{x+1}}{\ln 4}.$$

Тогда

$$y’=\frac{4^x\ln 4-2^{x+1}\ln 2}{\ln 4}.$$

Так как $$\ln 4=2\ln 2,$$ получаем

$$y’=4^x-\frac{2^{x+1}\ln 2}{\ln 4}=4^x-\frac{2^{x+1}}{2}=4^x-2^x=2^{2x}-2^x.$$

Касательная параллельна прямой $$y=2x+5,$$ значит её угловой коэффициент равен $$2.$$ Поэтому

$$2^{2x}-2^x=2.$$

Положим $$t=2^x,$$ тогда $$t>0$$ и получаем уравнение

$$t^2-t-2=0.$$

Решим его:

$$t^2-t-2=(t-2)(t+1)=0.$$

Отсюда $$t=2$$ или $$t=-1.$$

Так как $$t=2^x>0,$$ значение $$t=-1$$ не подходит. Значит,

$$2^x=2,$$

откуда $$x=1.$$

Найдём ординату точки:

$$y(1)=\frac{4^1-2^{1+1}}{\ln 4}=\frac{4-4}{\ln 4}=0.$$

Искомая точка графика: $$\left(1;0\right).$$

Ответ

$$\left(1;0\right)$$