Упр.894 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все такие точки графика функции $$y=\frac{4^x-2^{x+1}}{\ln 4}$$, в которых касательная к этому графику параллельна прямой $$y=2x+5$$.

Найдём производную функции

$$y=\frac{4^x-2^{x+1}}{\ln 4}.$$

Тогда

$$y’=\frac{4^x\ln 4-2^{x+1}\ln 2}{\ln 4}.$$

Так как $$\ln 4=2\ln 2,$$ получаем

$$y’=4^x-\frac{2^{x+1}}{2}=4^x-2^x=2^{2x}-2^x.$$

Касательная параллельна прямой $$y=2x+5,$$ значит её угловой коэффициент равен $$2.$$ Поэтому

$$2^{2x}-2^x=2.$$

Положим $$t=2^x,$$ тогда $$t>0$$ и уравнение принимает вид

$$t^2-t-2=0.$$

Решаем:

$$t_1=2,\quad t_2=-1.$$

Так как $$t=2^x>0,$$ подходит только $$t=2.$$ Тогда

$$2^x=2 \Rightarrow x=1.$$

Найдём ординату точки:

$$y(1)=\frac{4^1-2^{1+1}}{\ln 4}=\frac{4-4}{\ln 4}=0.$$

Искомая точка графика:

$$\left(1;0\right).$$

Ответ: $$\left(1;0\right).$$