Упр.892 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Прямая касается гиперболы $$y=\frac{k}{x}$$, где $$k>0$$, в точке с абсциссой $$x_0$$.
   1) Доказать, что площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, не зависит от положения точки касания. Найти эту площадь.
   2) Доказать, что эта касательная проходит через точки $$\left(x_0;\frac{2k}{x_0}\right)$$ и $$\left(2x_0;0\right)$$.

Найдём уравнение касательной к гиперболе $$y=\frac{k}{x}, \quad k>0$$ в точке с абсциссой $$x_0.$$

Производная:

$$y’=-\frac{k}{x^2}, \qquad y'(x_0)=-\frac{k}{x_0^2}.$$

Уравнение касательной:

$$y-\frac{k}{x_0}=-\frac{k}{x_0^2}(x-x_0).$$

Преобразуем:

$$y=\frac{k}{x_0}-\frac{k}{x_0^2}(x-x_0) =\frac{k}{x_0}-\frac{kx}{x_0^2}+\frac{k}{x_0} =\frac{k}{x_0}\left(2-\frac{x}{x_0}\right).$$

1)

Найдём точки пересечения касательной с осями координат.

При $$x=0$$ получаем:

$$y=\frac{k}{x_0}\left(2-0\right)=\frac{2k}{x_0}.$$

Значит, одна вершина треугольника имеет координаты $$\left(0;\frac{2k}{x_0}\right).$$

При $$y=0$$:

$$\frac{k}{x_0}\left(2-\frac{x}{x_0}\right)=0,$$

откуда

$$2-\frac{x}{x_0}=0,\qquad x=2x_0.$$

Значит, вторая вершина — $$\left(2x_0;0\right).$$

Площадь треугольника:

$$S=\frac12 \cdot 2x_0 \cdot \frac{2k}{x_0}=2k.$$

Она не зависит от положения точки касания.

2)

Проверим принадлежность точек касательной.

Для точки $$\left(x_0;\frac{k}{x_0}\right)$$:

$$y=\frac{k}{x_0}\left(2-\frac{x_0}{x_0}\right)=\frac{k}{x_0},$$

значит, эта точка лежит на касательной.

Для точки $$\left(2x_0;0\right)$$:

$$y=\frac{k}{x_0}\left(2-\frac{2x_0}{x_0}\right)=0,$$

значит, и эта точка лежит на касательной.

Ответ: $$S=2k$$; касательная проходит через точки $$\left(x_0;\frac{k}{x_0}\right)$$ и $$\left(2x_0;0\right).$$