Упр.891 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Прямая касается гиперболы $$y=\frac{4}{x}$$ в точке $$(1; 4)$$. Найти площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат.

Найдём уравнение касательной к гиперболе $$y=\frac{4}{x}$$ в точке $$A(1;4).$$

Производная функции:

$$y’=-\frac{4}{x^2}.$$

Тогда угловой коэффициент касательной в точке $$x=1$$ равен

$$y'(1)=-4.$$

Уравнение касательной:

$$y-4=-4(x-1),$$

откуда

$$y=-4x+8.$$

Найдём точки пересечения этой прямой с осями координат:

при $$x=0$$ получаем $$y=8,$$ значит, точка пересечения с осью $$Oy$$ — $$B(0;8);$$

при $$y=0$$ имеем

$$-4x+8=0,$$

$$x=2,$$

значит, точка пересечения с осью $$Ox$$ — $$C(2;0).$$

Площадь треугольника $$OBC$$:

$$S=\frac12 \cdot OB \cdot OC=\frac12 \cdot 8 \cdot 2=8.$$

Ответ: $$8.$$