Упр.890 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти уравнения касательных к графику функции $$y=\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}$$, параллельных $$y=6x$$.

Найдём производную функции:

$$y=\frac13x^3-\frac52x^2,$$

$$y’ = x^2-5x.$$

Касательная параллельна прямой $$y=6x,$$ значит её угловой коэффициент равен $$6$$. Тогда

$$x^2-5x=6,$$

$$x^2-5x-6=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=25+24=49,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 7}{2},$$

откуда $$x_1=6,\quad x_2=-1.$$

Найдём уравнения касательных.

1) При $$x=6$$:

$$y(6)=\frac13\cdot 6^3-\frac52\cdot 6^2=72-90=-18,$$

$$y= -18+6(x-6),$$

$$y=6x-54.$$

2) При $$x=-1$$:

$$y(-1)=\frac13\cdot(-1)^3-\frac52\cdot(-1)^2=-\frac13-\frac52=-\frac{17}{6},$$

$$y=-\frac{17}{6}+6(x+1),$$

$$y=6x+\frac{19}{6}.$$

Ответ: $$y=6x-54,\quad y=6x+\frac{19}{6}.$$