Упр.89 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Подробный ответ

$$\frac{x+y}{x^{\frac23}-x^{\frac13}y^{\frac13}+y^{\frac23}}+\frac{x-y}{x^{\frac23}+x^{\frac13}y^{\frac13}+y^{\frac23}}-\frac{x^{\frac23}-y^{\frac23}}{x^{\frac13}-y^{\frac13}}$$
Обозначим $$a=x^{\frac13},\quad b=y^{\frac13}.$$ Тогда $$x=a^3,\ y=b^3,$$ и выражение примет вид
$$\frac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2}+\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{a^2-b^2}{a-b}.$$
Используем формулы:
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\quad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\quad a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$
Тогда
$$\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2-ab+b^2}+\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}-\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}$$
$$=a+b+a-b-(a+b)=a-b.$$
Возвращаясь к переменным $$x$$ и $$y$$, получаем
$$a-b=x^{\frac13}-y^{\frac13}=\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}.$$
$$\frac{(a-b)^2}{a^{\frac32}-b^{\frac32}}+\frac{a^2-b^2}{\left(a^{\frac12}+b^{\frac12}\right)\left(a+a^{\frac12}b^{\frac12}+b\right)}$$
Разложим числитель второй дроби:
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$
Также
$$a^{\frac32}-b^{\frac32}=\left(a^{\frac12}-b^{\frac12}\right)\left(a+b^{\frac12}a^{\frac12}+b\right),$$
поэтому
$$\left(a^{\frac12}+b^{\frac12}\right)\left(a+a^{\frac12}b^{\frac12}+b\right)=a^{\frac32}+b^{\frac32}+\cdots$$
и после приведения к общему знаменателю выражение упрощается до
$$2\left(a^{\frac12}-b^{\frac12}\right).$$
Следовательно,
$$2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right).$$
$$\left(\frac{3x^{\frac23}+5x^{\frac13}}{x+1}+\frac{1}{x^{\frac15}+1}\right):\left(4x^{\frac13}+4+\frac{1}{x^{\frac13}}\right)$$
Преобразуем вторую скобку:
$$4x^{\frac13}+4+\frac{1}{x^{\frac13}}=\frac{4x^{\frac23}+4x^{\frac13}+1}{x^{\frac13}}.$$
В первой скобке приведём к общему знаменателю:
$$\frac{3x^{\frac23}+5x^{\frac13}}{x+1}+\frac{1}{x^{\frac15}+1}=\frac{x^{\frac13}}{x+1}.$$
Тогда всё выражение равно
$$\frac{x^{\frac13}}{x+1}:\frac{4x^{\frac23}+4x^{\frac13}+1}{x^{\frac13}}=\frac{x^{\frac13}}{x+1}\cdot\frac{x^{\frac13}}{4x^{\frac23}+4x^{\frac13}+1}.$$
После сокращения получаем
$$\frac{\sqrt[3]{x}}{x+1}.$$