Упр.889 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) y=2sinx/2, x0=3пи/2;
2) y=2^-x — 2^-2x, x0=2;
3) y=(x+2)/(3-x), x0=2;
4) y=x+lnx, x0=e.

Подробный ответ

$$y=2\sin\frac{x}{2}, \quad x_0=\frac{3\pi}{2}$$
Найдём значение функции и производную в точке $$x_0$$:
$$y\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\sin\frac{3\pi}{4}=2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2$$
$$y'(x)=2\cdot\left(\sin\frac{x}{2}\right)’=2\cdot\frac12\cos\frac{x}{2}=\cos\frac{x}{2}$$
$$y’\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}$$
Уравнение касательной:
$$y-\sqrt2=-\frac{\sqrt2}{2}\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)$$
$$y=-\frac{\sqrt2}{2}x+\sqrt2+\frac{3\pi\sqrt2}{4}$$
$$y=2^{-x}-2^{-2x}, \quad x_0=2$$
Найдём значение функции и производную:
$$y(2)=2^{-2}-2^{-4}=\frac14-\frac1{16}=\frac3{16}$$
$$y'(x)=-(\ln2)\,2^{-x}+2(\ln2)\,2^{-2x}$$
$$y'(2)=-(\ln2)\cdot\frac14+2(\ln2)\cdot\frac1{16}=-\frac18\ln2$$
Тогда касательная:
$$y-\frac3{16}=-\frac18\ln2\,(x-2)$$
$$y=-\frac18\ln2\,x+\frac3{16}+\frac14\ln2$$
$$y=\frac{x+2}{3-x}, \quad x_0=2$$
Найдём значение функции и производную:
$$y(2)=\frac{2+2}{3-2}=4$$
$$y'(x)=\frac{(x+2)'(3-x)-(x+2)(3-x)’}{(3-x)^2}=\frac{(3-x)+(x+2)}{(3-x)^2}=\frac5{(3-x)^2}$$
$$y'(2)=\frac5{(3-2)^2}=5$$
Уравнение касательной:
$$y-4=5(x-2)$$
$$y=5x-6$$
$$y=x+\ln x, \quad x_0=e$$
Найдём значение функции и производную:
$$y(e)=e+\ln e=e+1$$
$$y'(x)=1+\frac1x$$
$$y'(e)=1+\frac1e$$
Тогда касательная:
$$y-(e+1)=\left(1+\frac1e\right)(x-e)$$
$$y=x+\frac{x}{e}$$