Упр.888 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Под каким углом пересекаются графики функций: 1) $$y=2\sqrt{x}$$ и $$y=2\sqrt{6-x}$$; 2) $$y=\sqrt{2x+1}$$ и $$y=1$$.

1) Найдём точку пересечения графиков:

$$2\sqrt{x}=2\sqrt{6-x}$$

$$\sqrt{x}=\sqrt{6-x}$$

$$x=6-x$$

$$2x=6,\quad x=3$$

Найдём угловые коэффициенты касательных в этой точке.

Для функции $$y=2\sqrt{x}$$:

$$y’ = 2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

$$k_1=y'(3)=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Тогда

$$\alpha_1=\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}$$

Для функции $$y=2\sqrt{6-x}$$:

$$y’ = 2\cdot \frac{1}{2\sqrt{6-x}}\cdot(-1)=-\frac{1}{\sqrt{6-x}}$$

$$k_2=y'(3)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Тогда

$$\alpha_2=-\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\pi}{6}$$

Угол между графиками:

$$\beta=\alpha_1-\alpha_2=\frac{\pi}{6}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{3}$$

2) Найдём точку пересечения графиков:

$$\sqrt{2x+1}=1$$

$$2x+1=1$$

$$2x=0,\quad x=0$$

Найдём угловые коэффициенты касательных.

Для функции $$y=\sqrt{2x+1}$$:

$$y’=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$$

$$k_1=y'(0)=\frac{1}{\sqrt{1}}=1$$

Тогда

$$\alpha_1=\arctan 1=\frac{\pi}{4}$$

Для функции $$y=1$$:

$$y’=0$$

$$k_2=0,\quad \alpha_2=0$$

Угол между графиками:

$$\beta=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{3}$$; 2) $$\frac{\pi}{4}$$.