Упр.887 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти все значения $$a$$, при которых неравенство $$f'(x)<0$$ не имеет действительных решений, если:
1) $$f(x)=ax^7+x^3-1$$;
2) $$f(x)=x^5+ax^3+3$$;
3) $$f(x)=(x+a)\sqrt{x}$$;
4) $$f(x)=x+\frac{a}{x}$$.
$$f(x)=ax^7+x^3-1$$
$$f'(x)=7ax^6+3x^2=x^2(7ax^4+3)$$
Чтобы неравенство $$f'(x)<0$$ не имело действительных решений, нужно, чтобы при всех $$x$$ выражение $$x^2(7ax^4+3)$$ не было отрицательным. Так как $$x^2\ge 0$$, отрицательные значения возможны только при $$x\ne 0$$ и $$7ax^4+3<0$$.
Но при $$a\ge 0$$ имеем $$7ax^4+3\ge 3>0$$, значит, решений нет. При $$a<0$$ можно выбрать $$x$$ так, что $$7ax^4+3<0$$, и решения появятся.
Ответ: $$a\ge 0$$.
$$f(x)=x^5+ax^3+3$$
$$f'(x)=5x^4+3ax^2=x^2(5x^2+3a)$$
Неравенство $$f'(x)<0$$ возможно только при $$x\ne 0$$ и $$5x^2+3a<0$$.
Если $$a\ge 0$$, то $$5x^2+3a\ge 0$$ при всех $$x$$, значит, решений нет. Если $$a<0$$, то при достаточно малых $$x^2$$ неравенство $$5x^2+3a<0$$ выполняется, и решения существуют.
Ответ: $$a\ge 0$$.
$$f(x)=(x+a)\sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=\sqrt{x}+(x+a)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{2x+x+a}{2\sqrt{x}}=\frac{3x+a}{2\sqrt{x}}$$
При $$x>0$$ знаменатель положителен, поэтому
$$f'(x)<0 \iff 3x+a<0$$
То есть нужно, чтобы система
$$\begin{cases} x>0,\\ 3x+a<0 \end{cases}$$
не имела решений. Это возможно только при $$a\ge 0$$, так как тогда $$3x+a>0$$ для всех $$x>0$$.
Ответ: $$a\ge 0$$.
$$f(x)=x+\frac{a}{x}$$
Область определения: $$x\ne 0$$.
$$f'(x)=1-\frac{a}{x^2}=\frac{x^2-a}{x^2}$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, то
$$f'(x)<0 \iff x^2-a<0 \iff x^2<a$$
Чтобы неравенство не имело действительных решений, нужно, чтобы $$a\le 0$$.
Ответ: $$a\le 0$$.
