Упр.887 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) f(x) = ax7+x3-1;
2) f(x) = x5+ax3+3;
3) f(x) = (x+a) корень x;
4) f(x) = x + a/x.

Подробный ответ

$$f(x)=ax^7+x^3-1$$
$$f'(x)=7ax^6+3x^2=x^2(7ax^4+3)$$
Чтобы неравенство $$f'(x)<0$$ не имело действительных решений, нужно, чтобы при всех $$x$$ выполнялось $$f'(x)\ge 0$$. Так как $$x^2\ge 0$$, то отрицательным выражение может быть только при $$7ax^4+3<0$$.
Если $$a<0$$, то при достаточно больших $$|x|$$ это неравенство выполняется, значит решения есть. Следовательно, решений не будет только при $$a\ge 0$$.
$$f(x)=x^5+ax^3+3$$
$$f'(x)=5x^4+3ax^2=x^2(5x^2+3a)$$
Для отсутствия решений неравенства $$f'(x)<0$$ нужно, чтобы не было значений $$x$$, при которых $$5x^2+3a<0$$.
Если $$a<0$$, то при малых $$x$$ это неравенство выполняется, значит решения есть. Поэтому необходимо и достаточно:
$$a\ge 0$$
$$f(x)=(x+a)\sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
$$f'(x)=\sqrt{x}+\frac{x+a}{2\sqrt{x}}=\frac{3x+a}{2\sqrt{x}}$$
При $$x>0$$ знаменатель положителен, поэтому
$$f'(x)<0 \iff 3x+a<0$$
То есть нужно, чтобы система
$$ \begin{cases} x>0,\\ 3x+a<0 \end{cases} $$
не имела решений. Это возможно только при $$a\ge 0$$.
$$f(x)=x+\frac{a}{x}$$
Область определения: $$x\ne 0$$.
$$f'(x)=1-\frac{a}{x^2}=\frac{x^2-a}{x^2}$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, то
$$f'(x)<0 \iff x^2-a<0 \iff x^2<a$$
Чтобы решений не было, нужно $$a\le 0$$.