Упр.886 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти все значения $$a$$, при которых уравнение $$f'(x)=0$$ не имеет действительных корней, если:
- $$f(x)=ax^2-\frac{1}{x^2}$$;
- $$f(x)=ax+\frac{1}{x}$$;
- $$f(x)=ax^3+3x^2+6x$$;
- $$f(x)=x^3+6x^2+ax$$.
1) $$f(x)=ax^2-\frac{1}{x^2}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2ax+\frac{2}{x^3}$$
Решаем уравнение $$f'(x)=0$$:
$$2ax+\frac{2}{x^3}=0,\quad x\ne 0$$
$$ax+\frac{1}{x^3}=0$$
$$ax^4+1=0$$
$$x^4=-\frac{1}{a}$$
Чтобы уравнение не имело действительных корней, нужно, чтобы правая часть была отрицательной или равной нулю, то есть $$-\frac{1}{a}\le 0$$. Отсюда $$a>0$$. При $$a=0$$ уравнение корней не имеет.
Ответ: $$a\ge 0$$.
2) $$f(x)=ax+\frac{1}{x}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=a-\frac{1}{x^2}$$
Решаем уравнение $$f'(x)=0$$:
$$a-\frac{1}{x^2}=0,\quad x\ne 0$$
$$ax^2-1=0$$
$$x^2=\frac{1}{a}$$
Чтобы действительных корней не было, нужно, чтобы $$\frac{1}{a}<0$$, то есть $$a<0$$. При $$a=0$$ уравнение также не имеет корней.
Ответ: $$a\le 0$$.
3) $$f(x)=ax^3+3x^2+6x$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3ax^2+6x+6$$
Решаем уравнение $$f'(x)=0$$:
$$3ax^2+6x+6=0$$
$$ax^2+2x+2=0$$
Чтобы уравнение не имело действительных корней, его дискриминант должен быть отрицательным:
$$D=2^2-4\cdot a\cdot 2=4-8a<0$$
$$1-2a<0$$
$$a>\frac12$$
Ответ: $$a>\frac12$$.
4) $$f(x)=x^3+6x^2+ax$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2+12x+a$$
Решаем уравнение $$f'(x)=0$$:
$$3x^2+12x+a=0$$
Чтобы действительных корней не было, требуется:
$$D=12^2-4\cdot 3\cdot a=144-12a<0$$
$$12-a<0$$
$$a>12$$
Ответ: $$a>12$$.
