Упр.885 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все значения $$a$$, при которых $$f'(x) \le 0$$ для всех действительных значений $$x$$, если $$f(x)=ax^3-6x^2-x$$.

Найдём производную:

$$f(x)=ax^3-6x^2-x$$

$$f'(x)=3ax^2-12x-1.$$

Требуется, чтобы $$f'(x)\le 0$$ для всех действительных $$x$$. Это возможно только тогда, когда квадратный трёхчлен $$3ax^2-12x-1$$ не принимает положительных значений при любых $$x$$.

Для этого необходимо:

• $$3a<0,$$ то есть $$a<0;$$
• дискриминант не должен быть положительным:

$$D=(-12)^2-4\cdot 3a\cdot(-1)=144+12a\le 0.$$

Отсюда

$$12+a\le 0,$$

$$a\le -12.$$

Это условие уже влечёт $$a<0$$, значит, оно и является искомым.

Ответ: $$a\le -12.$$