Упр.883 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти значения $$x$$, при которых значение производной функции $$f(x)$$ равно нулю; положительно; отрицательно:
$$f(x)=2x+2^{-x}$$;
$$f(x)=3^{2x}-2x\ln 3$$;
$$f(x)=x+\ln(2x)$$;
$$f(x)=x+\ln(2x+1)$$;
$$f(x)=6^x-x-\sqrt{x}$$;
$$f(x)=(x+1)\sqrt{x+1}-3x$$.
1) $$f(x)=2^x+2^{-x}$$
$$f'(x)=(2^x+2^{-x})’=2^x\ln 2-2^{-x}\ln 2=\ln 2\,(2^x-2^{-x})$$
$$f'(x)=0 \iff 2^x-2^{-x}=0 \iff 2^x=2^{-x} \iff x=0$$
Так как $$\ln 2>0,$$ то знак производной определяется выражением $$2^x-2^{-x}.$$ Поэтому
$$f'(x)>0 \text{ при } x>0,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x<0.$$
2) $$f(x)=3^{2x}-2x\ln 3$$
$$f'(x)=(3^{2x})’-(2x\ln 3)’=2\cdot 3^{2x}\ln 3-2\ln 3=2\ln 3\,(3^{2x}-1)$$
$$f'(x)=0 \iff 3^{2x}-1=0 \iff 3^{2x}=1=3^0 \iff x=0$$
Так как $$2\ln 3>0,$$ то
$$f'(x)>0 \text{ при } x>0,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x<0.$$
3) $$f(x)=x+\ln 2x$$
Область определения: $$x>0.$$
$$f'(x)=1+\frac{1}{x}$$
$$f'(x)=0 \iff 1+\frac{1}{x}=0 \iff x=-1,$$
но $$x=-1$$ не принадлежит области определения. Значит, нулей производная не имеет.
При $$x>0$$ имеем $$1+\frac{1}{x}>0,$$ поэтому
$$f'(x)>0 \text{ при } x>0,$$
а значений, при которых $$f'(x)<0,$$ нет.
4) $$f(x)=x+\ln(2x+1)$$
Область определения: $$2x+1>0,\; x>-\frac12.$$
$$f'(x)=1+\frac{2}{2x+1}$$
$$f'(x)=0 \iff 1+\frac{2}{2x+1}=0 \iff 2x+1+2=0 \iff 2x+3=0 \iff x=-\frac32$$
Но $$x=-\frac32$$ не входит в область определения. Следовательно, нулей производная не имеет.
При $$x>-\frac12$$ знаменатель $$2x+1>0,$$ значит
$$f'(x)>0 \text{ при } x>-\frac12,$$
а значений, при которых $$f'(x)<0,$$ нет.
5) $$f(x)=6x-x\sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
$$f'(x)=6-\frac{3}{2}\sqrt{x}$$
$$f'(x)=0 \iff 6-\frac{3}{2}\sqrt{x}=0 \iff 12-3\sqrt{x}=0 \iff \sqrt{x}=4 \iff x=16$$
Тогда
$$f'(x)>0 \text{ при } 0\le x<16,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>16.$$
6) $$f(x)=(x+1)\sqrt{x+1}-3x$$
Область определения: $$x\ge -1.$$
$$f'(x)=\left((x+1)\sqrt{x+1}\right)’-(3x)’=\frac{3}{2}\sqrt{x+1}-3$$
$$f'(x)=0 \iff \frac{3}{2}\sqrt{x+1}-3=0 \iff \sqrt{x+1}=2 \iff x=3$$
Тогда
$$f'(x)>0 \text{ при } x>3,\qquad f'(x)<0 \text{ при } -1<x<3.$$
Ответ
1) $$f'(x)=0$$ при $$x=0$$; $$f'(x)>0$$ при $$x>0$$; $$f'(x)<0$$ при $$x<0$$.
2) $$f'(x)=0$$ при $$x=0$$; $$f'(x)>0$$ при $$x>0$$; $$f'(x)<0$$ при $$x<0$$.
3) $$f'(x)>0$$ при $$x>0$$; $$f'(x)<0$$ — нет.
4) $$f'(x)>0$$ при $$x>-\frac12$$; $$f'(x)<0$$ — нет.
5) $$f'(x)=0$$ при $$x=16$$; $$f'(x)>0$$ при $$0\le x<16$$; $$f'(x)<0$$ при $$x>16$$.
6) $$f'(x)=0$$ при $$x=3$$; $$f'(x)>0$$ при $$x>3$$; $$f'(x)<0$$ при $$-1<x<3$$.
