Упр.881 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) (log2 x)3;
3) sin (log3 x);
4) cos 3x.

1. $$f(x)=\log_2(x^3-x^2+1)$$

   Пусть $$u=x^3-x^2+1$$, тогда $$f(x)=\log_2 u$$.

   По формуле производной сложной функции:

   $$f'(x)=u’\cdot \frac{1}{u\ln 2}$$

   $$u’=3x^2-2x$$

   Следовательно,

   $$f'(x)=\frac{3x^2-2x}{(x^3-x^2+1)\ln 2}$$

2. $$f(x)=(\log_2 x)^3$$

   Пусть $$u=\log_2 x$$, тогда $$f(x)=u^3$$.

   Тогда

   $$f'(x)=3u^2\cdot u’$$

   $$u’=\frac{1}{x\ln 2}$$

   Значит,

   $$f'(x)=3(\log_2 x)^2\cdot \frac{1}{x\ln 2}=\frac{3(\log_2 x)^2}{x\ln 2}$$

   Так как $$\log_2 x=\frac{\ln x}{\ln 2}$$, получаем

   $$f'(x)=\frac{3\ln^2 x}{x\ln^3 2}$$

3. $$f(x)=\sin(\log_3 x)$$

   Пусть $$u=\log_3 x$$, тогда $$f(x)=\sin u$$.

   По правилу цепочки:

   $$f'(x)=\cos u\cdot u’$$

   $$u’=\frac{1}{x\ln 3}$$

   Следовательно,

   $$f'(x)=\frac{\cos(\log_3 x)}{x\ln 3}$$

4. $$f(x)=\cos 3^x$$

   Пусть $$u=3^x$$, тогда $$f(x)=\cos u$$.

   Тогда

   $$f'(x)=-\sin u\cdot u’$$

   $$u’=3^x\ln 3$$

   Значит,

   $$f'(x)=-3^x\ln 3\sin 3^x$$

Ответ

1) $$\frac{3x^2-2x}{(x^3-x^2+1)\ln 2}$$; 2) $$\frac{3\ln^2 x}{x\ln^3 2}$$; 3) $$\frac{\cos(\log_3 x)}{x\ln 3}$$; 4) $$-3^x\ln 3\sin 3^x$$.