Упр.881 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_2(x^3-x^2+1)$$
2. $$(\log_2 x)^3$$
3. $$\sin(\log_3 x)$$
4. $$\cos 3x$$

Найдём производные по правилу цепочки.

1. $$f(x)=\log_2(x^3-x^2+1)$$

   Пусть $$u=x^3-x^2+1$$. Тогда $$f(x)=\log_2 u$$, и

   $$f'(x)=u’\cdot \frac{1}{u\ln 2}.$$

   Так как $$u’=3x^2-2x$$, получаем

   $$f'(x)=\frac{3x^2-2x}{(x^3-x^2+1)\ln 2}.$$

2. $$f(x)=(\log_2 x)^3$$

   Пусть $$u=\log_2 x$$. Тогда $$f(x)=u^3$$, и

   $$f'(x)=3u^2\cdot u’ = 3(\log_2 x)^2\cdot \frac{1}{x\ln 2}.$$

   Следовательно,

   $$f'(x)=\frac{3(\log_2 x)^2}{x\ln 2}=\frac{3\ln^2 x}{x\ln^3 2}.$$

3. $$f(x)=\sin(\log_3 x)$$

   Пусть $$u=\log_3 x$$. Тогда $$f(x)=\sin u$$, и

   $$f'(x)=\cos u\cdot u’=\cos(\log_3 x)\cdot \frac{1}{x\ln 3}.$$

   Итак,

   $$f'(x)=\frac{\cos(\log_3 x)}{x\ln 3}.$$

4. $$f(x)=\cos 3^x$$

   Пусть $$u=3^x$$. Тогда $$f(x)=\cos u$$, и

   $$f'(x)=-\sin u\cdot u’=-\sin(3^x)\cdot 3^x\ln 3.$$

   Следовательно,

   $$f'(x)=-3^x\ln 3\cdot \sin 3^x.$$

Ответ:

$$1)\ \frac{3x^2-2x}{(x^3-x^2+1)\ln 2};\quad 2)\ \frac{3\ln^2 x}{x\ln^3 2};\quad 3)\ \frac{\cos(\log_3 x)}{x\ln 3};\quad 4)\ -3^x\ln 3\cdot \sin 3^x.$$