Упр.877 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) у = х2 — 2х, х0 = 3;
2) у = х3 + 3х, х0 = 3;
3) у = sin х, х0 = пи/6;
4) y = cos х, х0 = пи/3.

1. Для функции $$y=x^2-2x$$ найдём значение функции и производной в точке $$x_0=3$$:

   $$y(3)=3^2-2\cdot 3=9-6=3,$$

   $$y'(x)=2x-2,$$

   $$y'(3)=2\cdot 3-2=6-2=4.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=3+4(x-3),$$

   $$y=4x-9.$$

2. Для функции $$y=x^3+3x$$ при $$x_0=3$$:

   $$y(3)=3^3+3\cdot 3=27+9=36,$$

   $$y'(x)=3x^2+3,$$

   $$y'(3)=3\cdot 3^2+3=27+3=30.$$

   Тогда

   $$y=36+30(x-3),$$

   $$y=30x-54.$$

3. Для функции $$y=\sin x$$ при $$x_0=\frac{\pi}{6}$$:

   $$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$

   $$y'(x)=\cos x,$$

   $$y’\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\left(x-\frac{\pi}{6}\right),$$

   $$y=\frac{\sqrt3}{2}x+\frac12-\frac{\pi\sqrt3}{12}.$$

4. Для функции $$y=\cos x$$ при $$x_0=\frac{\pi}{3}$$:

   $$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12,$$

   $$y'(x)=-\sin x,$$

   $$y’\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Тогда

   $$y=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right),$$

   $$y=-\frac{\sqrt3}{2}x+\frac12+\frac{\pi\sqrt3}{6}.$$

Ответ

1) $$y=4x-9$$

2) $$y=30x-54$$

3) $$y=\frac{\sqrt3}{2}x+\frac12-\frac{\pi\sqrt3}{12}$$

4) $$y=-\frac{\sqrt3}{2}x+\frac12+\frac{\pi\sqrt3}{6}$$