Упр.877 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $$x_0$$:

1. $$y=x^2-2x,\quad x_0=3$$;
2. $$y=x^3+3x,\quad x_0=3$$;
3. $$y=\sin x,\quad x_0=\frac{\pi}{6}$$;
4. $$y=\cos x,\quad x_0=\frac{\pi}{3}$$.

1. $$f(x)=x^2-2x,\quad x_0=3$$

   $$f'(x)=2x-2$$

   $$f(3)=3^2-2\cdot 3=9-6=3$$

   $$f'(3)=2\cdot 3-2=6-2=4$$

   Уравнение касательной:

   $$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$

   $$y=3+4(x-3)=4x-9$$

2. $$f(x)=x^3+3x,\quad x_0=3$$

   $$f'(x)=3x^2+3$$

   $$f(3)=3^3+3\cdot 3=27+9=36$$

   $$f'(3)=3\cdot 3^2+3=27+3=30$$

   $$y=36+30(x-3)=30x-54$$

3. $$f(x)=\sin x,\quad x_0=\frac{\pi}{6}$$

   $$f'(x)=\cos x$$

   $$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,\qquad f’\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}$$

   $$y=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{2}x+\frac12-\frac{\pi\sqrt3}{12}$$

4. $$f(x)=\cos x,\quad x_0=\frac{\pi}{3}$$

   $$f'(x)=-\sin x$$

   $$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\qquad f’\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}$$

   $$y=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}x+\frac12+\frac{\pi\sqrt3}{6}$$

Ответ:

1) $$y=4x-9$$; 2) $$y=30x-54$$; 3) $$y=\frac{\sqrt3}{2}x+\frac12-\frac{\pi\sqrt3}{12}$$; 4) $$y=-\frac{\sqrt3}{2}x+\frac12+\frac{\pi\sqrt3}{6}$$.