Упр.876 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти значение производной функции $$f(x)$$ в точке $$x_0$$, если:
   1) $$f(x)=\cos x\sin x$$, $$x_0=\frac{\pi}{6}$$;
   2) $$f(x)=e^x\ln x$$, $$x_0=1$$;
   3) $$f(x)=\frac{2\cos x}{\sin x}$$, $$x_0=\frac{\pi}{4}$$;
   4) $$f(x)=\frac{x}{1+e^x}$$, $$x_0=0$$.

1. $$f(x)=\cos x\sin x=\frac12\sin 2x$$

   $$f'(x)=\frac12\cdot 2\cos 2x=\cos 2x$$

   $$f’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$$

2. $$f(x)=e^x\ln x$$

   По правилу произведения:

   $$f'(x)=(e^x)’\ln x+e^x(\ln x)’=e^x\ln x+\frac{e^x}{x}=e^x\left(\ln x+\frac1x\right)$$

   $$f'(1)=e\left(\ln 1+\frac11\right)=e(0+1)=e$$

3. $$f(x)=\frac{2\cos x}{\sin x}=2\ctg x$$

   $$f'(x)=2(\ctg x)’=-\frac{2}{\sin^2 x}$$

   $$f’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{2}{\sin^2\frac{\pi}{4}}=-\frac{2}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=-4$$

4. $$f(x)=\frac{x}{1+e^x}$$

   По правилу производной частного:

   $$f'(x)=\frac{(1+e^x)\cdot 1-x\cdot e^x}{(1+e^x)^2}=\frac{1+e^x-xe^x}{(1+e^x)^2}$$

   $$f'(0)=\frac{1+e^0-0\cdot e^0}{(1+e^0)^2}=\frac{1+1}{(1+1)^2}=\frac{2}{4}=\frac12$$

Ответ: 1) $$\frac12$$; 2) $$e$$; 3) $$-4$$; 4) $$\frac12$$.