Упр.868 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 868 Найти точки, в которых касательные к кривым f (х) = х3 — х — 1 и g (х) = 3х2 — 4х + 1 параллельны. Написать уравнения этих касательных. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 868 1111

Касательные параллельны, значит их угловые коэффициенты равны. Найдём производные:

$$f(x)=x^3-x-1,\qquad f'(x)=3x^2-1,$$

$$g(x)=3x^2-4x+1,\qquad g'(x)=6x-4.$$

Приравняем угловые коэффициенты:

$$3x^2-1=6x-4,$$

$$3x^2-6x+3=0,$$

$$x^2-2x+1=0,$$

$$\left(x-1\right)^2=0,$$

откуда $$x=1.$$

Найдём точки касания:

$$f(1)=1^3-1-1=-1,$$

$$g(1)=3\cdot 1^2-4\cdot 1+1=0.$$

Угловой коэффициент касательных:

$$f'(1)=3\cdot 1^2-1=2,\qquad g'(1)=6\cdot 1-4=2.$$

Уравнения касательных:

к графику $$f(x)$$:

$$y=-1+2(x-1)=2x-3,$$

к графику $$g(x)$$:

$$y=0+2(x-1)=2x-2.$$

Ответ

Точки касания: $$\left(1;-1\right)$$ и $$\left(1;0\right).$$ Касательные: $$y=2x-3$$ и $$y=2x-2.$$