Упр.865 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Показать, что графики двух данных функций имеют одну общую точку и в этой точке общую касательную. Написать уравнение этой касательной:
- $$y=x^4$$ и $$y=x^6+2x^2$$;
- $$y=x^4$$ и $$y=x^3-3x^2$$;
- $$y=(x+2)^2$$ и $$y=2-x^2$$;
- $$y=x(2+x)$$ и $$y=x(2-x)$$.
1) Рассмотрим функции $$y=x^4$$ и $$y=x^6+2x^2.$$
Найдём общую точку:
$$x^4=x^6+2x^2$$
$$x^6-x^4+2x^2=0$$
$$x^2(x^4-x^2+2)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x^4-x^2+2=0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-t+2=0,$$
$$D=1-8=-7<0.$$
Значит, других действительных решений нет, и общая точка одна: $$(0;0).$$
Найдём производные:
$$y’=4x^3,$$
$$y’=6x^5+4x.$$
В точке $$x=0$$ получаем:
$$4\cdot 0^3=0,\qquad 6\cdot 0^5+4\cdot 0=0.$$
Следовательно, в точке $$(0;0)$$ у графиков общая касательная. Её уравнение:
$$y=0.$$
2) Рассмотрим функции $$y=x^4$$ и $$y=x^3-3x^2.$$
Найдём общую точку:
$$x^4=x^3-3x^2$$
$$x^4-x^3+3x^2=0$$
$$x^2(x^2-x+3)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x^2-x+3=0.$$
Для второго уравнения
$$D=1-12=-11<0,$$
поэтому действительных корней нет. Общая точка одна: $$(0;0).$$
Производные:
$$y’=4x^3,$$
$$y’=3x^2-6x.$$
В точке $$x=0$$:
$$4\cdot 0^3=0,\qquad 3\cdot 0^2-6\cdot 0=0.$$
Значит, общая касательная:
$$y=0.$$
3) Рассмотрим функции $$y=(x+2)^2$$ и $$y=2-x^2.$$
Найдём общую точку:
$$(x+2)^2=2-x^2$$
$$x^2+4x+4=2-x^2$$
$$2x^2+4x+2=0$$
$$x^2+2x+1=0$$
$$(x+1)^2=0.$$
Отсюда $$x=-1,$$ значит общая точка $$(-1;1).$$
Производные:
$$y’=2(x+2),$$
$$y’=-2x.$$
В точке $$x=-1$$:
$$2(-1+2)=2,\qquad -2\cdot(-1)=2.$$
Уравнение касательной к первой функции:
$$y-1=2(x+1),$$
откуда
$$y=2x+3.$$
Это же уравнение является касательной и ко второй функции.
4) Рассмотрим функции $$y=x(2+x)$$ и $$y=x(2-x).$$
Найдём общую точку:
$$x(2+x)=x(2-x)$$
$$2x+x^2=2x-x^2$$
$$2x^2=0.$$
Отсюда $$x=0,$$ значит общая точка $$(0;0).$$
Производные:
$$y’=(x(2+x))’=2+2x,$$
$$y’=(x(2-x))’=2-2x.$$
В точке $$x=0$$:
$$2+2\cdot 0=2,\qquad 2-2\cdot 0=2.$$
Уравнение общей касательной:
$$y=2x.$$
Ответ
1) $$y=0$$; 2) $$y=0$$; 3) $$y=2x+3$$; 4) $$y=2x.$$
