Упр.863 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти угол между осью $$Oy$$ и касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=0$$: 1) $$f(x)=x+e^{-x}$$; 2) $$f(x)=\cos x$$; 3) $$f(x)=\sqrt{x+1}+\frac{ex}{2}$$.

Угол между касательной и осью $$Oy$$ равен

$$\beta=\frac{\pi}{2}-\alpha,$$

где $$\alpha$$ — угол наклона касательной к оси $$Ox$$, а $$\tan \alpha = f'(x_0).$$

1. $$f(x)=x+e^{-x}, \quad x_0=0.$$

   $$f'(x)=1-e^{-x},$$

   $$f'(0)=1-e^0=0.$$

   Значит, $$\alpha=0$$, поэтому

   $$\beta=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}.$$

2. $$f(x)=\cos x, \quad x_0=0.$$

   $$f'(x)=-\sin x,$$

   $$f'(0)=-\sin 0=0.$$

   Следовательно, $$\alpha=0$$ и

   $$\beta=\frac{\pi}{2}.$$

3. $$f(x)=\sqrt{x+1}+e^{x/2}, \quad x_0=0.$$

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}+\frac{1}{2}e^{x/2},$$

   $$f'(0)=\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$$

   Тогда

   $$\alpha=\arctan 1=\frac{\pi}{4},$$

   и значит

   $$\beta=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.$$

Ответ: 1) $$\frac{\pi}{2}$$; 2) $$\frac{\pi}{2}$$; 3) $$\frac{\pi}{4}$$.