Упр.862 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Написать уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x=0$$:

1. а) $$f(x)=x+\frac{1}{x+1}$$; б) $$f(x)=\sin 2x-\ln(x+1)$$.

1) Для функции $$f(x)=x+\frac{1}{x+1}$$ найдём значение функции и производной в точке $$x_0=0$$:

$$f(0)=0+\frac{1}{0+1}=1,$$

$$f'(x)=1-\frac{1}{(x+1)^2},$$

$$f'(0)=1-\frac{1}{(0+1)^2}=1-1=0.$$

Уравнение касательной:

$$y=f(0)+f'(0)(x-0)=1+0\cdot x=1.$$

Ответ: $$y=1$$.

2) Для функции $$f(x)=\sin 2x-\ln(x+1)$$ найдём значение функции и производной в точке $$x_0=0$$:

$$f(0)=\sin 0-\ln 1=0,$$

$$f'(x)=2\cos 2x-\frac{1}{x+1},$$

$$f'(0)=2\cos 0-\frac{1}{1}=2-1=1.$$

Уравнение касательной:

$$y=f(0)+f'(0)(x-0)=0+1\cdot x=x.$$

Ответ: $$y=x$$.