Упр.859 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти угол между касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$ и осью $$Ox$$:

1. 1. $$f(x)=\frac{1}{3}x^3,\quad x_0=1$$;
   2. $$f(x)=\frac{1}{x},\quad x_0=1$$;
   3. $$f(x)=2\sqrt{x},\quad x_0=3$$;
   4. $$f(x)=\frac{18}{\sqrt{x}},\quad x_0=3$$;
   5. $$f(x)=e^{\frac{3x+1}{2}},\quad x_0=0$$;
   6. $$f(x)=\ln(2x+1),\quad x_0=2$$.

Угол между касательной и осью $$Ox$$ находим по формуле $$\tg \alpha = f'(x_0)$$, откуда $$\alpha = \arctg f'(x_0)$$.

1. $$f(x)=\frac{1}{3}x^3,\quad x_0=1$$

   $$f'(x)=x^2$$

   $$\tg \alpha=f'(1)=1$$

   $$\alpha=\arctg 1=\frac{\pi}{4}$$

2. $$f(x)=\frac{1}{x},\quad x_0=1$$

   $$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$$

   $$\tg \alpha=f'(1)=-1$$

   $$\alpha=-\arctg 1=-\frac{\pi}{4}$$

3. $$f(x)=2\sqrt{x},\quad x_0=3$$

   $$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

   $$\tg \alpha=f'(3)=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

   $$\alpha=\arctg \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}$$

4. $$f(x)=\frac{18}{\sqrt{x}},\quad x_0=3$$

   $$f'(x)=18\left(x^{-\frac12}\right)’=18\cdot\left(-\frac12\right)x^{-\frac32}=-\frac{9}{x\sqrt{x}}$$

   $$\tg \alpha=f'(3)=-\frac{9}{3\sqrt{3}}=-\sqrt{3}$$

   $$\alpha=-\arctg \sqrt{3}=-\frac{\pi}{3}$$

5. $$f(x)=e^{\frac{3x+1}{2}},\quad x_0=0$$

   $$f'(x)=\frac{3}{2}e^{\frac{3x+1}{2}}$$

   $$\tg \alpha=f'(0)=\frac{3}{2}e^{\frac12}=\frac{3\sqrt{e}}{2}$$

   $$\alpha=\arctg \frac{3\sqrt{e}}{2}$$

6. $$f(x)=\ln(2x+1),\quad x_0=2$$

   $$f'(x)=\frac{2}{2x+1}$$

   $$\tg \alpha=f'(2)=\frac{2}{5}$$

   $$\alpha=\arctg \frac{2}{5}$$

Ответ: 1) $$\frac{\pi}{4}$$; 2) $$-\frac{\pi}{4}$$; 3) $$\frac{\pi}{6}$$; 4) $$-\frac{\pi}{3}$$; 5) $$\arctg \frac{3\sqrt{e}}{2}$$; 6) $$\arctg \frac{2}{5}$$.