Упр.858 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$:
   1) $$f(x)=x^3$$, $$x_0=1$$;
   2) $$f(x)=\sin x$$, $$x_0=\frac{\pi}{4}$$;
   3) $$f(x)=\ln x$$, $$x_0=1$$;
   4) $$f(x)=e^x$$, $$x_0=\ln 3$$.

1. Найдём производную функции:

   $$f(x)=x^3,\qquad f'(x)=3x^2.$$

   Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке $$x_0=1$$:

   $$k=f'(1)=3\cdot 1^2=3.$$

2. Найдём производную функции:

   $$f(x)=\sin x,\qquad f'(x)=\cos x.$$

   Тогда при $$x_0=\frac{\pi}{4}$$ получаем:

   $$k=f’\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

3. Найдём производную функции:

   $$f(x)=\ln x,\qquad f'(x)=\frac{1}{x}.$$

   При $$x_0=1$$:

   $$k=f'(1)=\frac{1}{1}=1.$$

4. Найдём производную функции:

   $$f(x)=e^x,\qquad f'(x)=e^x.$$

   При $$x_0=\ln 3$$:

   $$k=f'(\ln 3)=e^{\ln 3}=3.$$

Ответ: 1) $$3$$; 2) $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$; 3) $$1$$; 4) $$3$$.