Упр.856 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти производную функции $$\ln(x^2-5x+6)$$ при $$x<2$$ и при $$x>3$$.

Пусть $$f(x)=\ln(x^2-5x+6).$$

Обозначим $$u=x^2-5x+6,$$ тогда $$f(x)=\ln u.$$ По правилу дифференцирования сложной функции получаем:

$$f'(x)=\frac{u’}{u}.$$

Найдём производную $$u$$:

$$u’=2x-5.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{2x-5}{x^2-5x+6}.$$

Проверим область определения логарифма:

$$x^2-5x+6>0,$$

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

Следовательно,

$$x<2 \text{ или } x>3.$$

Значит, при $$x<2$$ и при $$x>3$$ производная имеет вид

$$f'(x)=\frac{2x-5}{x^2-5x+6}.$$

Ответ: $$\frac{2x-5}{x^2-5x+6}, \quad x<2 \text{ или } x>3.$$