Упр.855 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти значения $$x$$, при которых значение производной функции $$f(x)$$ равно нулю; положительно; отрицательно:

1. $$f(x)=x-\ln x$$;
2. $$f(x)=x\ln x$$;
3. $$f(x)=x^2\ln x$$;
4. $$f(x)=x^3-3\ln x$$.

Область определения во всех пунктах: $$x>0.$$

1. $$f(x)=x-\ln x$$

   $$f'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}.$$

   Так как $$x>0,$$ знак производной определяется числителем $$x-1.$$

   $$f'(x)=0 \iff x=1.$$

   $$f'(x)>0 \iff x>1,$$

   $$f'(x)<0 \iff 0<x<1.$$

2. $$f(x)=x\ln x$$

   $$f'(x)=\ln x+1.$$

   $$f'(x)=0 \iff \ln x=-1 \iff x=e^{-1}.$$

   $$f'(x)>0 \iff \ln x>-1 \iff x>e^{-1},$$

   $$f'(x)<0 \iff 0<x<e^{-1}.$$

3. $$f(x)=x^2\ln x$$

   $$f'(x)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1).$$

   Так как $$x>0,$$ знак производной определяется выражением $$2\ln x+1.$$

   $$f'(x)=0 \iff 2\ln x+1=0 \iff \ln x=-\frac12 \iff x=\frac1{\sqrt e}.$$

   $$f'(x)>0 \iff x>\frac1{\sqrt e},$$

   $$f'(x)<0 \iff 0<x<\frac1{\sqrt e}.$$

4. $$f(x)=x^3-3\ln x$$

   $$f'(x)=3x^2-\frac3x=3\left(x^2-\frac1x\right)=\frac{3(x^3-1)}{x}.$$

   Так как $$x>0,$$ знак производной определяется числителем $$x^3-1.$$

   $$f'(x)=0 \iff x^3-1=0 \iff x=1.$$

   $$f'(x)>0 \iff x>1,$$

   $$f'(x)<0 \iff 0<x<1.$$

Ответ:

1) $$f'(x)=0$$ при $$x=1,$$ $$f'(x)>0$$ при $$x\in(1;+\infty),$$ $$f'(x)<0$$ при $$x\in(0;1).$$

2) $$f'(x)=0$$ при $$x=e^{-1},$$ $$f'(x)>0$$ при $$x\in(e^{-1};+\infty),$$ $$f'(x)<0$$ при $$x\in(0;e^{-1}).$$

3) $$f'(x)=0$$ при $$x=\frac1{\sqrt e},$$ $$f'(x)>0$$ при $$x\in\left(\frac1{\sqrt e};+\infty\right),$$ $$f'(x)<0$$ при $$x\in\left(0;\frac1{\sqrt e}\right).$$

4) $$f'(x)=0$$ при $$x=1,$$ $$f'(x)>0$$ при $$x\in(1;+\infty),$$ $$f'(x)<0$$ при $$x\in(0;1).$$