Упр.854 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислить $$f'(x)+f(x)+2$$, если $$f(x)=x\sin 2x$$, $$x=\pi$$.

Найдём производную функции $$f(x)=x\sin 2x$$:

$$f'(x)=(x\sin 2x)’=(x)’\sin 2x+x(\sin 2x)’=\sin 2x+2x\cos 2x.$$

Тогда

$$f'(x)+f(x)+2=\sin 2x+2x\cos 2x+x\sin 2x+2.$$

Подставим $$x=\pi$$:

$$f'(\pi)+f(\pi)+2=\sin 2\pi+2\pi\cos 2\pi+\pi\sin 2\pi+2.$$

Так как $$\sin 2\pi=0$$, $$\cos 2\pi=1$$, получаем:

$$f'(\pi)+f(\pi)+2=0+2\pi\cdot 1+0+2=2\pi+2=2(\pi+1).$$

Ответ: $$2(\pi+1).$$