Упр.853 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Найти значения производной функции f(x) в точках, в которых значение этой функции равно $$0$$:
- $$f(x)=e^{2x}\ln(2x-1)$$;
- $$f(x)=\frac{\sin x-\cos x}{\sin x}$$.
1) $$f(x)=e^{2x}\ln(2x-1)$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(e^{2x})’\ln(2x-1)+e^{2x}\bigl(\ln(2x-1)\bigr)’= 2e^{2x}\ln(2x-1)+e^{2x}\cdot \frac{2}{2x-1}$$
$$f'(x)=2e^{2x}\left(\ln(2x-1)+\frac{1}{2x-1}\right)$$
Значение функции равно нулю, когда
$$e^{2x}\ln(2x-1)=0$$
Так как $$e^{2x}\neq 0$$, то
$$\ln(2x-1)=0,\quad 2x-1=1,\quad x=1$$
Тогда
$$f'(1)=2e^{2}\left(\ln(1)+\frac{1}{1}\right)=2e^{2}(0+1)=2e^{2}$$
2) $$f(x)=\dfrac{\sin x-\cos x}{\sin x}$$
Найдём производную по формуле производной частного:
$$f'(x)=\frac{(\sin x-\cos x)’\sin x-(\sin x-\cos x)(\sin x)’}{\sin^2 x}$$
$$f'(x)=\frac{(\cos x+\sin x)\sin x-(\sin x-\cos x)\cos x}{\sin^2 x}$$
$$f'(x)=\frac{\cos x\sin x+\sin^2 x-\sin x\cos x+\cos^2 x}{\sin^2 x} =\frac{1}{\sin^2 x}$$
Значение функции равно нулю, когда
$$\frac{\sin x-\cos x}{\sin x}=0$$
При этом $$\sin x\neq 0$$, значит
$$\sin x-\cos x=0,\quad \tg x=1,\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
В этих точках
$$f’\left(\frac{\pi}{4}+\pi n\right)=\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+\pi n\right)} =\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right)} =\frac{1}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=2$$
Ответ: 1) $$2e^2$$; 2) $$2$$.
