Упр.852 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Выяснить, при каких значениях $$x$$ значение производной функции $$f(x)$$ равно 0:

1. $$f(x)=5(\sin x-\cos x)+\sqrt{2}\cos 5x$$;
2. $$f(x)=1-5\cos 2x+2(\sin x-\cos x)-2x$$.

1) Найдём производную:

$$f(x)=5(\sin x-\cos x)+\sqrt2\cos 5x$$

$$f'(x)=5(\cos x+\sin x)-5\sqrt2\sin 5x$$

Приравняем производную к нулю:

$$\cos x+\sin x-\sqrt2\sin 5x=0$$

$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\sqrt2\sin 5x=0$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\sin 5x=0$$

Используем формулу разности синусов:

$$2\cos\left(\frac{6x+\pi/4}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi/4-4x}{2}\right)=0$$

Удобнее записать в виде:

$$\sin\left(\frac{\pi}{8}-2x\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}+3x\right)=0$$

Тогда:

$$\sin\left(\frac{\pi}{8}-2x\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{\pi}{8}+3x\right)=0$$

1) $$\frac{\pi}{8}-2x=\pi n$$, откуда

$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\frac{\pi}{8}+3x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, откуда

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb Z$$

2) Найдём производную:

$$f(x)=1-5\cos 2x+2(\sin x-\cos x)-2x$$

$$f'(x)=10\sin 2x+2(\cos x+\sin x)-2$$

Приравняем к нулю:

$$10\sin 2x+2(\cos x+\sin x)-2=0$$

$$5\sin 2x+\cos x+\sin x-1=0$$

Преобразуем:

$$\sin 2x=2\sin x\cos x$$

$$10\sin x\cos x+\cos x+\sin x-1=0$$

Используем замену $$t=\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$. Тогда

$$\cos x+\sin x=\sqrt2\,t,\qquad \sin 2x=2\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-1=2t^2-1$$

Получаем:

$$10t^2+\sqrt2\,t-6=0$$

$$D=(\sqrt2)^2-4\cdot 10\cdot(-6)=2+240=242$$

$$t_{1,2}=\frac{-\sqrt2\pm 11\sqrt2}{20}$$

$$t_1=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad t_2=-\frac{3\sqrt2}{5}$$

1) $$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$, значит

$$x-\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n$$

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{3\sqrt2}{5}$$, значит

$$x-\frac{\pi}{4}=\pm\arccos\left(-\frac{3\sqrt2}{5}\right)+2\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{4}\pm\arccos\left(-\frac{3\sqrt2}{5}\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}\pm\arccos\left(-\frac{3\sqrt2}{5}\right)+2\pi n,\ 2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$