Упр.846 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\ln\sqrt{x-1}$$
2. $$e^{\sqrt{3+x}}$$
3. $$\ln(\cos x)$$
4. $$\ln(\sin x)$$

1) $$f(x)=\ln \sqrt{x-1}$$

Пусть $$u=\sqrt{x-1}.$$ Тогда $$f(x)=\ln u,$$ и по правилу производной сложной функции

$$f'(x)=\frac{1}{u}\cdot u’=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}}=\frac{1}{2(x-1)}.$$

2) $$f(x)=e^{\sqrt{3+x}}$$

Пусть $$u=\sqrt{3+x}.$$ Тогда $$f(x)=e^u,$$ и

$$f'(x)=e^u\cdot u’=e^{\sqrt{3+x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{3+x}}=\frac{e^{\sqrt{3+x}}}{2\sqrt{3+x}}.$$

3) $$f(x)=\ln(\cos x)$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)=-\tg x.$$

4) $$f(x)=\ln(\sin x)$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{1}{\sin x}\cdot \cos x=\ctg x.$$

Ответ

1) $$\frac{1}{2(x-1)}$$; 2) $$\frac{e^{\sqrt{3+x}}}{2\sqrt{3+x}}$$; 3) $$-\tg x$$; 4) $$\ctg x$$.