Упр.844 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) $$f(x)=\sqrt[3]{\frac{3}{2-x}}-3\cos\frac{x-2}{3}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\sqrt[3]{\frac{3}{2-x}}\right)’ — 3\left(\cos\frac{x-2}{3}\right)’$$

$$\left(\sqrt[3]{\frac{3}{2-x}}\right)’=\left(3(2-x)^{-1}\right)^{\frac13}{}’=\sqrt[3]{3}\cdot\left((2-x)^{-1}\right)’ \cdot \frac13$$

Удобнее записать сразу по правилу степени и цепному правилу:

$$\left(\sqrt[3]{\frac{3}{2-x}}\right)’=\frac{\sqrt[3]{3}}{3(2-x)\sqrt[3]{(2-x)^2}}$$

А для второго слагаемого:

$$\left(-3\cos\frac{x-2}{3}\right)’= -3\cdot\left(-\sin\frac{x-2}{3}\right)\cdot\frac13=\sin\frac{x-2}{3}$$

Следовательно,

$$f'(x)=\frac{\sqrt[3]{3}}{3(2-x)\sqrt[3]{(2-x)^2}}+\sin\frac{x-2}{3}$$

2) $$f(x)=2\sqrt[4]{\frac{1}{(x+2)^3}}-5e^{\frac{x-4}{5}}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2\left(\frac{1}{(x+2)^3}\right)’^{\frac14}-5\left(e^{\frac{x-4}{5}}\right)’$$

Используем правило степени и цепное правило:

$$\left(\sqrt[4]{\frac{1}{(x+2)^3}}\right)’= \left((x+2)^{-3}\right)^{\frac14}{}’ =-\frac34(x+2)^{-\frac74}$$

$$\left(e^{\frac{x-4}{5}}\right)’=e^{\frac{x-4}{5}}\cdot\frac15$$

Тогда

$$f'(x)=2\cdot\left(-\frac34\right)(x+2)^{-\frac74}-5\cdot\frac15\,e^{\frac{x-4}{5}}$$

$$f'(x)=-\frac32(x+2)^{-\frac74}-e^{\frac{x-4}{5}}$$

или

$$f'(x)=-\frac{3}{2(x+2)\sqrt[4]{(x+2)^3}}-e^{\frac{x-4}{5}}$$

Ответ:

1) $$f'(x)=\frac{\sqrt[3]{3}}{3(2-x)\sqrt[3]{(2-x)^2}}+\sin\frac{x-2}{3}$$

2) $$f'(x)=-\frac32(x+2)^{-\frac74}-e^{\frac{x-4}{5}}$$